Considere a matrizes e b=[la b c].
(a) Determine quais condições devemos impor as entradas a, b, c in R da matrizcoluna b, de modo que o sistema de equações lineares A x=b seja compatível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e um vetor com entradas . A questão quer saber quais condições precisam satisfazer para que o sistema de equações lineares tenha pelo menos uma solução, ou seja, seja compatível.
Conteúdo envolvido: Matrizes, sistemas de equações lineares, e conceitos de compatibilidade de sistemas.
Para resolver isso, vamos verificar se o vetor está no espaço coluna da matriz . Se estiver, o sistema é compatível.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada [rrr|r 1 & 3 & 3 & a 2 & 0 & 3 & b -1 & 5 & 1 & c ] :
Teoria aplicada: A matriz aumentada junta a matriz dos coeficientes com o vetor . Para que o sistema seja compatível, o posto da matriz deve ser igual ao posto da matriz aumentada .
Passo 3
Agora, vamos aplicar operações elementares para simplificar a matriz aumentada. O objetivo é transformar a parte dos coeficientes [rrr|r 1 & 3 & 3 & a 2 & 0 & 3 & b -1 & 5 & 1 & c ] em uma forma mais simples, como a forma escalonada.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
2 - 2 times 1 = 0 0 - 2 times 3 = -6 3 - 2 times 3 = -3 b - 2 times a = b - 2a
Em seguida, eliminamos o primeiro elemento da segunda e terceira linhas.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
-1 + 1 = 0 5 + 3 = 8 1 + 3 = 4 c + a = c + a
E adicionamos a primeira linha à terceira linha:
[rrr|r 1 & 3 & 3 & a 0 & -6 & -3 & b - 2a 0 & 8 & 4 & c + a ]
A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -6:
[rrr|r 1 & 3 & 3 & a 0 & 1 & 0.5 & 2a - b6 0 & 8 & 4 & c + a ]
Em seguida, eliminamos o elemento abaixo do pivô da segunda coluna na terceira linha. Para isso, subtraímos 8 vezes a segunda linha da terceira linha:
8 - 8 times 1 = 0 4 - 8 times 0.5 = 0 c + a - 8 times 2a - b6 = c + a - 16a - 8b6 = c + a - 8a - 4b3
Agora, para que o sistema seja compatível, a última equação 3c - 5a + 4b3 = 0 Rightarrow 3c - 5a + 4b = 0 não pode ser uma contradição. Ou seja, o lado direito deve ser igual a zero:
Resposta
Para o sistema 3c - 5a + 4b = 0 ser compatível, as entradas devem satisfazer a condição: