Considere a matrizes e .
(a) Determine quais condições devemos impor as entradas da matrizcoluna , de modo que o sistema de equações lineares seja compatível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e um vetor com entradas . A questão quer saber quais condições precisam satisfazer para que o sistema de equações lineares tenha pelo menos uma solução, ou seja, seja compatível.
Conteúdo envolvido: Matrizes, sistemas de equações lineares, e conceitos de compatibilidade de sistemas.
Para resolver isso, vamos verificar se o vetor está no espaço coluna da matriz . Se estiver, o sistema é compatível.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada :
Teoria aplicada: A matriz aumentada junta a matriz dos coeficientes com o vetor . Para que o sistema seja compatível, o posto da matriz deve ser igual ao posto da matriz aumentada .
Passo 3
Agora, vamos aplicar operações elementares para simplificar a matriz aumentada. O objetivo é transformar a parte dos coeficientes em uma forma mais simples, como a forma escalonada.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
Em seguida, eliminamos o primeiro elemento da segunda e terceira linhas.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
E adicionamos a primeira linha à terceira linha:
A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -6:
Em seguida, eliminamos o elemento abaixo do pivô da segunda coluna na terceira linha. Para isso, subtraímos 8 vezes a segunda linha da terceira linha:
Simplificando a última entrada:
A matriz agora fica:
Passo 5
Agora, para que o sistema seja compatível, a última equação não pode ser uma contradição. Ou seja, o lado direito deve ser igual a zero:
Resposta
Para o sistema ser compatível, as entradas devem satisfazer a condição: