Considere a matrizes e .
(a) Determine quais condições devemos impor as entradas da matrizcoluna , de modo que o sistema de equações lineares seja compatível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e um vetor com entradas . A questão quer saber quais condições precisam satisfazer para que o sistema de equações lineares tenha pelo menos uma solução, ou seja, seja compatível.
Conteúdo envolvido: Matrizes, sistemas de equações lineares, e conceitos de compatibilidade de sistemas.
Para resolver isso, vamos verificar se o vetor está no espaço coluna da matriz . Se estiver, o sistema é compatível.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada :
Teoria aplicada: A matriz aumentada junta a matriz dos coeficientes com o vetor . Para que o sistema seja compatível, o posto da matriz deve ser igual ao posto da matriz aumentada .

Passo 3

Agora, vamos aplicar operações elementares para simplificar a matriz aumentada. O objetivo é transformar a parte dos coeficientes em uma forma mais simples, como a forma escalonada.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
Em seguida, eliminamos o primeiro elemento da segunda e terceira linhas.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
E adicionamos a primeira linha à terceira linha:
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -6:
Em seguida, eliminamos o elemento abaixo do pivô da segunda coluna na terceira linha. Para isso, subtraímos 8 vezes a segunda linha da terceira linha:
Simplificando a última entrada:
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, para que o sistema seja compatível, a última equação não pode ser uma contradição. Ou seja, o lado direito deve ser igual a zero:

Resposta

Para o sistema ser compatível, as entradas devem satisfazer a condição:

Exercícios relacionados

Um fio uniformemente carregada de comprimento tem a forma de um semicírculo. O fio tem uma carga total de q=-4,21e-06 C. Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em , o centro do semicírculo. Use . Dê a resposta em .
nenhuma das outras


Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(i) Sejam uma matriz e uma forma escalonada de . Então o conjunto de todas as matrizes-coluna que são uma combinação linear das colunas de é exatamente igual ao conjunto de todas as matrizes-coluna que são uma combinação linear das colunas da matriz .
Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(d) Seja uma matriz . Se uma forma escalonada de possui um pivô em cada linha, então o sistema linear é compatível, para toda escolha da matriz-coluna .
Um capacitor é formado por duas cascas condutoras esféricas no vácuo. A esfera interior tem raio e a exterior tem raio . Aplica-se uma diferença de potencial de no capacitor. Qual a densidade de energia ( ) em ? Use .

nenhuma das outras