Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(d) Seja uma matriz . Se uma forma escalonada de possui um pivô em cada linha, então o sistema linear é compatível, para toda escolha da matriz-coluna .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes e sistemas lineares. Precisamos entender se, quando uma matriz tem um pivô em cada linha na sua forma escalonada, o sistema sempre terá solução, independente de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma escalonada de uma matriz. É uma forma onde, basicamente, os elementos abaixo dos pivôs (os primeiros números não nulos de cada linha) são zeros, facilitando a resolução do sistema.
Passo 3
Um pivô é esse primeiro número não nulo em cada linha da forma escalonada. Se toda linha tem um pivô, isso significa que cada equação do sistema contribui para determinar as variáveis sem deixar equações redundantes ou inconsistentes.
Passo 4
Agora, se em cada linha há um pivô, isso indica que a matriz tem posto completo, ou seja, o número de pivôs é igual ao número de linhas . Isso garante que o sistema não tem equações que possam ser contraditórias e que toda possível escolha de estará dentro do espaço gerado pelas colunas de .
Passo 5
Portanto, se tem um pivô em cada uma das linhas na forma escalonada, para qualquer vetor em , sempre haverá uma solução para .
Resposta
Verdadeira. Se a forma escalonada de possui um pivô em cada linha, então o sistema é compatível para toda matriz-coluna .