Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(j) Sejam uma matriz e uma forma escalonada de . Então o conjunto de todas as matrizes-coluna que são uma combinação linear das colunas de nem sempre é igual ao conjunto de todas as matrizes-coluna que são uma combinação linear das colunas da matriz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes e combinações lineares das colunas delas. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços coluna de matrizes e formas escalonadas. Para resolver, precisamos entender o que acontece com as colunas quando transformamos uma matriz em sua forma escalonada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma escalonada. É uma matriz obtida a partir da original usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações facilitam resolver sistemas lineares, mas é importante saber o que elas afetam na matriz.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de uma matriz, que chamamos de espaço coluna. Esse espaço representa todos os possíveis vetores que podemos obter combinando as colunas da matriz com certos coeficientes.

Passo 4

Quando aplicamos operações de linha para transformar uma matriz A na sua forma escalonada E, estamos mudando as linhas, mas as colunas podem ser alteradas de uma forma que muda o espaço coluna. Ou seja, as combinações lineares das colunas de A podem não ser as mesmas que as de E.

Passo 5

Portanto, dizer que “o conjunto de todas as matrizes-coluna que são uma combinação linear das colunas de A nem sempre é igual ao conjunto de todas as matrizes-coluna que são uma combinação linear das colunas da matriz E” está afirmando que os espaços coluna de A e E podem ser diferentes, o que é verdade devido às operações de linha que modificam as colunas.

Resposta

Verdadeiro. As operações de linha usadas para obter a forma escalonada E podem alterar o espaço coluna, fazendo com que os conjuntos de combinações lineares das colunas de A e E não sejam sempre iguais.

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nenhuma das outras

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(d) Seja uma matriz . Se uma forma escalonada de possui um pivô em cada linha, então o sistema linear é compatível, para toda escolha da matriz-coluna .
Uma casca esférica condutora de raio interno e raio externo está carregada com carga . É colocada uma carga pontual positiva em seu centro. Qual a densidade de carga, em , na superfície externa da casca?






nenhuma das outras
Verifique se a matriz-coluna é uma combinação linear das matrizescoluna e , justificando sua resposta.