Um capacitor é formado por duas cascas condutoras esféricas no vácuo. A esfera interior tem raio a=0.06 m e a exterior tem raio b=0.2 m. Aplica-se uma diferença de potencial de V=79 V no capacitor. Qual a densidade de energia u em r=0.135 m ?
Use epsilon0=9 times 10^-12 C^2 /(N m^2).
u= times 10^-6 J / m^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras no vácuo. A esfera interna tem raio e a externa, raio . Foi aplicada uma diferença de potencial de entre elas. Queremos descobrir a densidade de energia no ponto onde .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitores esféricos e como a energia elétrica é armazenada em um campo elétrico. Além disso, vamos precisar das fórmulas para o campo elétrico em um capacitor esférico e para a densidade de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de energia elétrica u = 12 epsilon0 E^2 em um ponto no campo elétrico é dada por:
Aqui, é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico no ponto considerado.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico E(r) = Q4pi epsilon0 r^2 em um ponto a uma distância do centro de um capacitor esférico, usamos a fórmula:
Onde é a carga na esfera interna. Mas como não conhecemos diretamente, vamos relacionar com a diferença de potencial .

Passo 4

A diferença de potencial V = integrala^b E(r) , dr = Q4pi epsilon0 ( 1a - 1b ) entre as duas esferas é dada por:
Q = 4pi epsilon0 V1a - 1b
Podemos rearranjar essa equação para encontrar :

Passo 5

Agora que temos E(r) = Q4pi epsilon0 r^2 = 4pi epsilon0 V1a - 1b cdot 14pi epsilon0 r^2 = V( 1a - 1b ) r^2 , vamos voltar à fórmula do campo elétrico:

Passo 6

Substituindo u = 12 epsilon0 ( V( 1a - 1b ) r^2 )^2 = epsilon0 V^22 ( 1a - 1b )^2 r^4 na fórmula da densidade de energia:

Passo 7

Vamos agora inserir os valores numéricos:
a = 0,06, m, b = 0,2, m, V = 79, V, r = 0,135, m, epsilon0 = 9 times 10^-12, C^2/(N·m^2)
Primeiro, calculamos 10,06 - 10,2 = 10,06 - 10,2 = 16,6667 - 5 = 11,6667, m^-1 :

Passo 8

Agora, substituímos todos na fórmula de u = 9 times 10^-12 times 79^22 times (11,6667)^2 times (0,135)^4 :
u = 9 times 10^-12 times 62412 times 136,1111 times 0,000331 approx 5,6169 times 10^-80,090222 approx 6,225 times 10^-7, J/m^3
Calculando passo a passo:
Substituindo:

Resposta

A densidade de energia é aproximadamente .

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