Um capacitor é formado por duas cascas condutoras esféricas no vácuo. A esfera interior tem raio
e a exterior tem raio
. Aplica-se uma diferença de potencial de
no capacitor. Qual a densidade de energia
?
Use
.
Use
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras no vácuo. A esfera interna tem raio
e a externa, raio
. Foi aplicada uma diferença de potencial de
entre elas. Queremos descobrir a densidade de energia
no ponto onde
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitores esféricos e como a energia elétrica é armazenada em um campo elétrico. Além disso, vamos precisar das fórmulas para o campo elétrico em um capacitor esférico e para a densidade de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de energia elétrica
em um ponto no campo elétrico é dada por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo e
é o campo elétrico no ponto considerado.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico
em um ponto a uma distância
do centro de um capacitor esférico, usamos a fórmula:
Onde
é a carga na esfera interna. Mas como não conhecemos
diretamente, vamos relacionar com a diferença de potencial
.
Passo 4
A diferença de potencial
entre as duas esferas é dada por:
Podemos rearranjar essa equação para encontrar
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos voltar à fórmula do campo elétrico:
Passo 6
Substituindo
na fórmula da densidade de energia:
Passo 7
Vamos agora inserir os valores numéricos:
Primeiro, calculamos
:
Passo 8
Agora, substituímos todos na fórmula de
:
Calculando passo a passo:
Substituindo:
Resposta
A densidade de energia é aproximadamente
.