Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio . A carga no capacitor cresce a uma taxa de . Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda:
Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante do eixo dos discos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Eletromagnetismo, especificamente envolvendo capacitores e a variação do campo magnético entre as placas. A gente vai precisar entender como a carga que aumenta no capacitor gera um campo magnético e, para isso, vamos usar algumas fórmulas fundamentais da física. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a variação do campo magnético em função do raio e, em seguida, calcular o valor desse campo em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos no problema:
  • Raio das placas do capacitor:
  • Taxa de variação da carga:
  • Distância do ponto em que queremos o campo magnético:

Passo 3

Como a carga no capacitor está aumentando, isso significa que há uma corrente elétrica associada ao fluxo de carga. Essa corrente é dada pela taxa de variação da carga:

Passo 4

Para encontrar o campo magnético gerado por essa corrente, podemos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético ao redor de um circuito com a corrente que passa por esse circuito e a taxa de variação do fluxo elétrico. No nosso caso, vamos considerar apenas a corrente de deslocamento, já que estamos lidando com um capacitor.
A forma simplificada da Lei de Ampère-Maxwell para um capacitor com placas circulares é:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo ( )
  • é a permitividade do vácuo ( )
  • é a corrente encerrada pelo caminho de integração
  • é o fluxo elétrico

Passo 5

No nosso caso, como as placas são circulares e queremos o campo em um ponto a uma distância do eixo, podemos assumir que o campo magnético é tangencial e sua magnitude é constante ao longo do caminho circular de raio . Assim, a integral de linha fica:

Passo 6

Vamos calcular a corrente encerrada . Como a corrente total é e queremos a corrente dentro de um raio , a corrente encerrada é proporcional à área:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora precisamos calcular a taxa de variação do fluxo elétrico . O fluxo elétrico em uma área entre as placas é:
Onde é a densidade superficial de carga. Como , temos , e portanto:
Substituindo os valores:
Esse termo será muito grande, mas para simplificar, podemos reconhecer que no contexto da Lei de Ampère-Maxwell, tanto a corrente de deslocamento quanto a corrente de condução contribuem para o campo magnético.

Passo 8

Apesar de termos esse termo adicional, para fins de simplificação, vamos considerar apenas a corrente de condução na nossa expressão final. Assim, voltando à nossa equação:
Isolando :
Substituindo , , e :

Resposta

O campo magnético no ponto entre as placas, a 2,00 cm do eixo dos discos, vale .

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