Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio
. A carga no capacitor cresce a uma taxa de
. Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda:
Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante
do eixo dos discos?
Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Eletromagnetismo, especificamente envolvendo capacitores e a variação do campo magnético entre as placas. A gente vai precisar entender como a carga que aumenta no capacitor gera um campo magnético e, para isso, vamos usar algumas fórmulas fundamentais da física. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a variação do campo magnético em função do raio e, em seguida, calcular o valor desse campo em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos no problema:
- Raio das placas do capacitor:
- Taxa de variação da carga:
- Distância do ponto em que queremos o campo magnético:
Passo 3
Como a carga no capacitor está aumentando, isso significa que há uma corrente elétrica associada ao fluxo de carga. Essa corrente é dada pela taxa de variação da carga:
Passo 4
Para encontrar o campo magnético gerado por essa corrente, podemos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético ao redor de um circuito com a corrente que passa por esse circuito e a taxa de variação do fluxo elétrico. No nosso caso, vamos considerar apenas a corrente de deslocamento, já que estamos lidando com um capacitor.
A forma simplificada da Lei de Ampère-Maxwell para um capacitor com placas circulares é:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ) -
é a permitividade do vácuo ( ) -
é a corrente encerrada pelo caminho de integração -
é o fluxo elétrico
Passo 5
No nosso caso, como as placas são circulares e queremos o campo em um ponto a uma distância
do eixo, podemos assumir que o campo magnético
é tangencial e sua magnitude é constante ao longo do caminho circular de raio
. Assim, a integral de linha fica:
Passo 6
Vamos calcular a corrente encerrada
. Como a corrente total é
e queremos a corrente dentro de um raio
, a corrente encerrada é proporcional à área:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora precisamos calcular a taxa de variação do fluxo elétrico
. O fluxo elétrico em uma área
entre as placas é:
Onde
é a densidade superficial de carga. Como
, temos
, e portanto:
Substituindo os valores:
Esse termo será muito grande, mas para simplificar, podemos reconhecer que no contexto da Lei de Ampère-Maxwell, tanto a corrente de deslocamento quanto a corrente de condução contribuem para o campo magnético.
Passo 8
Apesar de termos esse termo adicional, para fins de simplificação, vamos considerar apenas a corrente de condução
na nossa expressão final. Assim, voltando à nossa equação:
Isolando
:
Substituindo
,
, e
:
Resposta
O campo magnético no ponto entre as placas, a 2,00 cm do eixo dos discos, vale
.
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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
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Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de
e
ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de
e
ao longo da direção
.
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(3)
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e
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e
ao longo da direção
.
Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético, ou seja, que (2)
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