Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=e^2 t, y=t+1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as equações paramétricas:
x = e^2t, y = t + 1
O objetivo aqui é eliminar o parâmetro para encontrar uma equação que relacione e diretamente. Para isso, vamos usar conceitos de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver uma das equações para y = t + 1 . Olhando para a segunda equação:
t = y - 1
Podemos isolar :
Isso nos dá em termos de .

Passo 3

Agora, vamos usar essa expressão de x = e^2t na primeira equação que relaciona x = e^2(y - 1) e :
Substituindo por :

Passo 4

Para simplificar, podemos escrever a equação de uma forma mais direta. Lembre-se que x = e^2y - 2 = e^2y cdot e^-2 , então:
x = e^2(y - 1) Rightarrow ln(x) = 2(y - 1)
No entanto, para deixar a relação entre ln(x)2 = y - 1 Rightarrow y = 12 ln(x) + 1 e ainda mais clara, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A equação cartesiana da curva é:
y = 12 ln(x) + 1

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