Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de
e
ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de
e
ao longo da direção
.
Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético, ou seja, que
(2)
Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético, ou seja, que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a equação da onda para a luz usando as Equações de Maxwell. Isso envolve trabalhar com campos elétricos (
) e magnéticos (
). Vamos assumir que o campo elétrico varia com
e
na direção
, e o campo magnético varia com
e
na direção
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e conhecimento básico das Equações de Maxwell.
Passo 2
Vamos começar lembrando das Equações de Maxwell no vácuo:
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o campo magnético:
- Lei de Faraday:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Como o campo elétrico
está na direção
e o campo magnético
na direção
, podemos simplificar as equações.
Passo 3
Vamos focar na segunda equação que você mencionou:
Essa equação relaciona as variações espaciais do campo magnético com as variações temporais do campo elétrico. Nosso objetivo é chegar a uma equação que descreva como
e
se propagam como ondas.
Passo 4
Para derivar a equação da onda para o campo elétrico
, vamos derivar ambos os lados da equação acima em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, vamos usar a Lei de Faraday, que nos diz que:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Comparando as equações dos Passos 4 e 5, podemos igualar as segundas derivadas:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Sabemos que a velocidade da luz
está relacionada com
e
por:
Então, podemos substituir
na equação:
Essa é a equação da onda para o campo elétrico
.
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação da onda:
A solução geral dessa equação é uma combinação de ondas que se movem para a direita e para a esquerda:
Onde:
-
é a amplitude da onda, -
é o número de onda, -
é a frequência angular.
Resposta
A equação da onda para o campo elétrico
derivada das Equações de Maxwell é:
E suas soluções gerais são ondas viajando nas direções positiva e negativa de
: