Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z.
Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético, ou seja, que partial Bpartial x=-mu0 varepsilon0 partial Epartial t (2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a equação da onda para a luz usando as Equações de Maxwell. Isso envolve trabalhar com campos elétricos ( E) e magnéticos ( B). Vamos assumir que o campo elétrico varia com x e t na direção y, e o campo magnético varia com x e t na direção z. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e conhecimento básico das Equações de Maxwell.

Passo 2

Vamos começar lembrando das Equações de Maxwell no vácuo:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico: partial Epartial x = 0
  2. Lei de Gauss para o campo magnético: partial Bpartial x = -mu0 varepsilon0 partial Epartial t
  3. Lei de Faraday: partial Epartial t = 1mu0 partial Bpartial x
  4. Lei de Ampère-Maxwell: partial Bpartial t = -varepsilon0 partial Epartial x
Como o campo elétrico E está na direção y e o campo magnético B na direção z, podemos simplificar as equações.

Passo 3

Vamos focar na segunda equação que você mencionou:
partial Bpartial x = -mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Essa equação relaciona as variações espaciais do campo magnético com as variações temporais do campo elétrico. Nosso objetivo é chegar a uma equação que descreva como E e B se propagam como ondas.

Passo 4

Para derivar a equação da onda para o campo elétrico E, vamos derivar ambos os lados da equação acima em relação a t:
partialpartial t ( partial Bpartial x ) = -mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
Isso nos dá:
partial^2 Bpartial x partial t = -mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2

Passo 5

Agora, vamos usar a Lei de Faraday, que nos diz que:
partial Epartial t = 1mu0 partial Bpartial x
Derivando ambos os lados em relação a x:
partial^2 Epartial x partial t = 1mu0 partial^2 Bpartial x^2

Passo 6

Comparando as equações dos Passos 4 e 5, podemos igualar as segundas derivadas:
-mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2 = 1mu0 partial^2 Bpartial x^2
Rearranjando os termos:
partial^2 Epartial t^2 = mu0^2 varepsilon0 partial^2 Bpartial x^2

Passo 7

Sabemos que a velocidade da luz c está relacionada com mu0 e varepsilon0 por:
c = 1raizmu0 varepsilon0
Então, podemos substituir mu0 varepsilon0 = 1c^2 na equação:
partial^2 Epartial t^2 = 1c^2 partial^2 Epartial x^2
Essa é a equação da onda para o campo elétrico E.

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação da onda:
partial^2 Epartial t^2 = 1c^2 partial^2 Epartial x^2
A solução geral dessa equação é uma combinação de ondas que se movem para a direita e para a esquerda:
E(x, t) = E0 cos(kx - omega t) + E0 cos(kx + omega t)
Onde:
  • E0 é a amplitude da onda,
  • k é o número de onda,
  • omega é a frequência angular.

Resposta

A equação da onda para o campo elétrico E derivada das Equações de Maxwell é:
partial^2 Epartial t^2 = 1c^2 partial^2 Epartial x^2
E suas soluções gerais são ondas viajando nas direções positiva e negativa de x:
E(x, t) = E0 cos(kx - omega t) + E0 cos(kx + omega t)

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