Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de
e
ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de
e
ao longo da direção
.
Faça uma derivada parcial em função de
dos dois lados da equação (1), e utilizando a equação (2) chegue na equação de onda para o campo elétrico:
(3)
Faça uma derivada parcial em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para derivar a equação da onda para a luz usando as Equações de Maxwell. A gente vai focar nos campos elétrico (
) e magnético (
) que dependem de posição (
) e tempo (
). Precisamos usar derivadas parciais e entender um pouco sobre como as Equações de Maxwell descrevem os campos eletromagnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell relevantes para esse problema. Embora não estejam explicitamente listadas, geralmente usamos:
-
Lei de Faraday:
-
Lei de Ampère-Maxwell:
Como o campo elétrico está na direção
e o campo magnético na direção
, podemos simplificar essas equações para uma dimensão (
).
Passo 3
Vamos escrever as componentes das equações de Maxwell para esse caso:
-
Lei de Faraday na direção
: -
Lei de Ampère-Maxwell na direção
:
Passo 4
O objetivo é chegar na equação de onda para o campo elétrico, que tem a forma:
Para isso, vamos derivar parcialmente a Lei de Faraday em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell para substituir
:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que o sinal negativo pode ser ajustado considerando a definição das direções dos campos ou reconstruindo a equação. Portanto, a equação final da onda para o campo elétrico fica:
Resposta
A equação da onda para o campo elétrico é:
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Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio
. A carga no capacitor cresce a uma taxa de
. Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda:
Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante do eixo dos discos?
Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de
e
ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de
e
ao longo da direção
.
Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético, ou seja, que (2)
Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético, ou seja, que
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.