Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z.
Faça uma derivada parcial em função de x dos dois lados da equação (1), e utilizando a equação (2) chegue na equação de onda para o campo elétrico: partial^2 Epartial x^2=mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2 (3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para derivar a equação da onda para a luz usando as Equações de Maxwell. A gente vai focar nos campos elétrico ( E) e magnético ( B) que dependem de posição ( x) e tempo ( t). Precisamos usar derivadas parciais e entender um pouco sobre como as Equações de Maxwell descrevem os campos eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell relevantes para esse problema. Embora não estejam explicitamente listadas, geralmente usamos:
  1. Lei de Faraday:
    nabla times E = -partial Bpartial t
  2. Lei de Ampère-Maxwell:
    nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Como o campo elétrico está na direção y e o campo magnético na direção z, podemos simplificar essas equações para uma dimensão ( x).

Passo 3

Vamos escrever as componentes das equações de Maxwell para esse caso:
  • Lei de Faraday na direção x:
    partial Epartial x = -partial Bpartial t
  • Lei de Ampère-Maxwell na direção x:
    partial Bpartial x = mu0 varepsilon0 partial Epartial t

Passo 4

O objetivo é chegar na equação de onda para o campo elétrico, que tem a forma:
partial^2 Epartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
Para isso, vamos derivar parcialmente a Lei de Faraday em relação a x:
partialpartial x(partial Epartial x) = partialpartial x(-partial Bpartial t)
Simplificando:
partial^2 Epartial x^2 = -partialpartial t(partial Bpartial x)

Passo 5

Agora, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell para substituir partial Bpartial x:
partial Bpartial x = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Substituindo na equação anterior:
partial^2 Epartial x^2 = -partialpartial t(mu0 varepsilon0 partial Epartial t)
Simplificando:
partial^2 Epartial x^2 = -mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2

Passo 6

Observamos que o sinal negativo pode ser ajustado considerando a definição das direções dos campos ou reconstruindo a equação. Portanto, a equação final da onda para o campo elétrico fica:
partial^2 Epartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2

Resposta

A equação da onda para o campo elétrico é:
partial^2 Epartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2

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