Em um certo feixe de elétrons existem 5 times 10^6 elétrons por centímetro cúbico. Suponha que a energia cinética de cada elétrons seja de 10 keV e que o feixe seja cilíndrico, com um diâmetro de D=1 mm. (a) Qual é a velocidade de um elétron no feixe. (b) Determine a corrente do feixe.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um feixe de elétrons com uma densidade de elétrons por centímetro cúbico, cada elétron possui uma energia cinética de 10 keV, e o feixe é cilíndrico com um diâmetro de 1 mm. Precisamos calcular duas coisas:
(a) A velocidade de um elétron no feixe.
(b) A corrente do feixe.

Passo 2

Parte (a): Encontrando a velocidade de um elétron no feixe
Primeiro, vamos converter a energia cinética de cada elétron de kiloelectronvolts (keV) para joules (J), pois unidades padrão são importantes para nossos cálculos.
Sabemos que:
1 , eV = 1.602 times 10^-19 , J
Então, 10 keV é:
10 , keV = 10 times 10^3 , eV = 1.602 times 10^-15 , J
Agora, usamos a fórmula da energia cinética para relacionar energia e velocidade:
Ecinética = 12 m v^2 é
Onde:
  • v = raiz2 Ecinéticam = raiz2 times 1.602 times 10^-159.109 times 10^-31 approx 5.93 times 10^7 , m/s é é a energia cinética,
  • é a massa do elétron ( ),
  • é a velocidade do elétron.
Rearranjando para encontrar :
é

Passo 3

Parte (b): Determinando a corrente do feixe
A corrente elétrica ( I = n times q times v times A ) pode ser calculada usando a fórmula:
D = 1 , mm = 1 times 10^-3 , m
Onde:
  • r = D2 = 0.5 times 10^-3 , m é a densidade de elétrons ( A = pi r^2 = pi (0.5 times 10^-3)^2 approx 7.85 times 10^-7 , m^2 é convertido para I = 5 times 10^12 times 1.602 times 10^-19 times 5.93 times 10^7 times 7.85 times 10^-7 approx 3.72 times 10^-6 , A = 3.72 , muA é),
  • é a carga de um elétron ( ),
  • é a velocidade dos elétrons ( ),
  • é a área da seção transversal do feixe.
Primeiro, calculamos a área do feixe cilíndrico:
Agora, substituindo na fórmula da corrente:

Resposta

(a) A velocidade de um elétron no feixe é aproximadamente .
(b) A corrente do feixe é de aproximadamente .

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