Um capacitor de 4 mF apresenta a seguinte tensão em seus terminais.
Se o capacitor tiver uma corrente inicial de 2 A, determine:
(a) As constantes e .
(b) A energia armazenada no capacitor em .
© A corrente no capacitor para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores! Temos um capacitor de 4 mF com uma tensão que muda ao longo do tempo. Precisamos encontrar algumas coisas: as constantes e na expressão da tensão, a energia armazenada no capacitor no instante inicial ( ) e a corrente no capacitor para tempos maiores que zero ( ). Para isso, vamos usar conceitos de capacitância, corrente e energia em capacitores, além de resolver algumas equações diferenciais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as constantes e . Sabemos que para , a tensão no capacitor é dada por:
Também sabemos que a corrente inicial é de 2 A. Lembrando que a corrente em um capacitor é relacionada à derivada da tensão pelo seguinte:
Onde .
No instante , a tensão . Vamos usar isso para encontrar uma equação.
Agora, derivamos :
No instante :
Simplificando:
Multiplicando por -1:
Agora temos um sistema de duas equações:
Resolvendo esse sistema, podemos multiplicar a primeira equação por 0.4:
Subtraindo da segunda equação:
Agora substituímos na equação (1):

Passo 3

Agora que temos e , podemos passar para a próxima parte: a energia armazenada no capacitor em .
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
Sabendo que e , substituímos:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a corrente no capacitor para . Já sabemos que:
Calculando a derivada de :
Substituindo e :
Agora, multiplicamos pela capacitância:

Resposta

(a) As constantes são e .
(b) A energia armazenada no capacitor em é de 5 J.
© A corrente no capacitor para é dada por:

Exercícios relacionados

d) A máquina definida na questão anterior havia sido especificada para operar em São Paulo. Porém, ela será, agora, instalada em um ambiente com temperatura de , em uma cidade localizada a 3000 m de altitude. Faça a devida correção da potência mínima (em CV) da máquina a ser adquirida.
e) Considere que a MAQ1 seja uma MIRB. Deseja-se implementar uma partida com inserção de resistência de rotor nesta máquina, utilizando dois bancos de resistores, de tal forma que:
1 - A MAQ1 parta com torque máximo;
2 - Quando a MAQ1 atingir a velocidade de 30% da velocidade síncrona, deverá ser chaveado o banco de resistores de tal forma que a máquina continue a partida novamente a partir do torque máximo;
3 - Na velocidade de torque máximo (considerando a curva de torque nominal da máquina) deverá ser realizado novo chaveamento de banco de resistores de tal forma que a máquina finalize a partida a partir do torque máximo;
Determine o valor dos bancos de resistência para a implementação da partida desejada.
c) Considere que a MAQ1 estará submetida a um ciclo de trabalho definido a seguir. Verifique se a potência da máquina é adequada para tal regime de trabalho. Caso não seja, qual deverá ser a potência nominal (em CV) de uma nova máquina que seja adequada para atender esse regime?
  • A MAQ1 deverá fornecer 4,5 kW por 10 segundos, logo após
  • a MAQ1 deverá fornecer 5,5 kW por 7 segundos, logo após
  • a MAQ1 deverá fornecer 4,0 kW por 20 segundos, logo após
  • a MAQ1 deverá fornecer 6,5 kW por 5 segundos, logo após
  • a MAQ1 será desenergizada por 15 segundos e, após esse tempo o ciclo reiniciará.
Dois capacitores e são ligados a uma fonte de 100 V. Determine a energia armazenada em cada capacitor se eles estiverem conectados em:
(a) Paralelo
(b) Série