Um capacitor de 4 mF apresenta a seguinte tensão em seus terminais.
Se o capacitor tiver uma corrente inicial de 2 A, determine:
(a) As constantes
e
.
(b) A energia armazenada no capacitor em
.
© A corrente no capacitor para
.
(a) As constantes
(b) A energia armazenada no capacitor em
© A corrente no capacitor para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores! Temos um capacitor de 4 mF com uma tensão que muda ao longo do tempo. Precisamos encontrar algumas coisas: as constantes
e
na expressão da tensão, a energia armazenada no capacitor no instante inicial (
) e a corrente no capacitor para tempos maiores que zero (
). Para isso, vamos usar conceitos de capacitância, corrente e energia em capacitores, além de resolver algumas equações diferenciais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as constantes
e
. Sabemos que para
, a tensão no capacitor é dada por:
Também sabemos que a corrente inicial é de 2 A. Lembrando que a corrente
em um capacitor é relacionada à derivada da tensão pelo seguinte:
Onde
.
No instante
, a tensão
. Vamos usar isso para encontrar uma equação.
Agora, derivamos
:
No instante
:
Simplificando:
Multiplicando por -1:
Agora temos um sistema de duas equações:
Resolvendo esse sistema, podemos multiplicar a primeira equação por 0.4:
Subtraindo da segunda equação:
Agora substituímos
na equação (1):
Passo 3
Agora que temos
e
, podemos passar para a próxima parte: a energia armazenada no capacitor em
.
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a corrente no capacitor para
. Já sabemos que:
Calculando a derivada de
:
Substituindo
e
:
Agora, multiplicamos pela capacitância:
Resposta
(a) As constantes são
e
.
(b) A energia armazenada no capacitor em
é de 5 J.
© A corrente no capacitor para
é dada por: