Um capacitor de 4 mF apresenta a seguinte tensão em seus terminais.
v= 50 V, & t <= 0 A e^-100 t+B e^-600 t V, & t >= 0
Se o capacitor tiver uma corrente inicial de 2 A, determine:
(a) As constantes A e B.
(b) A energia armazenada no capacitor em t=0.
© A corrente no capacitor para t>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores! Temos um capacitor de 4 mF com uma tensão que muda ao longo do tempo. Precisamos encontrar algumas coisas: as constantes e na expressão da tensão, a energia armazenada no capacitor no instante inicial ( ) e a corrente no capacitor para tempos maiores que zero ( ). Para isso, vamos usar conceitos de capacitância, corrente e energia em capacitores, além de resolver algumas equações diferenciais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as constantes v(t) = A e^-100 t + B e^-600 t e i(t) = C dv(t)dt . Sabemos que para v(0) = A + B = 50 , V (1) , a tensão no capacitor é dada por:
dv(t)dt = -100 A e^-100 t -600 B e^-600 t
Também sabemos que a corrente inicial é de 2 A. Lembrando que a corrente i(0) = C dv(0)dt = -100 A times 4 times 10^-3 - 600 B times 4 times 10^-3 = 2 , A em um capacitor é relacionada à derivada da tensão pelo seguinte:
-0.4 A - 2.4 B = 2
Onde 0.4 A + 2.4 B = -2 (2) .
No instante A + B = 50 0.4 A + 2.4 B = -2 , a tensão 0.4 A + 0.4 B = 20 . Vamos usar isso para encontrar uma equação.
(0.4 A + 2.4 B) - (0.4 A + 0.4 B) = -2 - 20 2.0 B = -22 B = -11
Agora, derivamos A -11 = 50 A = 61 :
No instante :
Simplificando:
Multiplicando por -1:
Agora temos um sistema de duas equações:
Resolvendo esse sistema, podemos multiplicar a primeira equação por 0.4:
Subtraindo da segunda equação:
Agora substituímos na equação (1):

Passo 3

Agora que temos U = 12 C v^2 e U = 12 times 4 times 10^-3 times 50^2 = 12 times 4 times 10^-3 times 2500 = 5 , J , podemos passar para a próxima parte: a energia armazenada no capacitor em .
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
Sabendo que e , substituímos:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a corrente no capacitor para i(t) = C dv(t)dt . Já sabemos que:
dv(t)dt = -100 A e^-100 t -600 B e^-600 t
Calculando a derivada de dv(t)dt = -100 times 61 e^-100 t -600 times (-11) e^-600 t = -6100 e^-100 t + 6600 e^-600 t :
i(t) = 4 times 10^-3 times (-6100 e^-100 t + 6600 e^-600 t) = -24.4 e^-100 t + 26.4 e^-600 t , A
Substituindo e :
Agora, multiplicamos pela capacitância:

Resposta

(a) As constantes são i(t) = -24.4 , e^-100 t + 26.4 , e^-600 t , A e .
(b) A energia armazenada no capacitor em é de 5 J.
© A corrente no capacitor para é dada por:

Exercícios relacionados