Um capacitor de placas paralelas com área
e distância de separação
é carregado por uma diferença de potencial
e, em seguida, desconectado da fonte de carga. Um material dielétrico de constante
, espessura
e área
é inserido entre as placas. Seja
a densidade de carga livre na superfície do condutor na interface com o dielétrico e
a densidade de carga livre no condutor na interface com o ar. (a) Por que o campo elétrico deve ter o mesmo valor no material dielétrico e no espaço livre entre as placas? (b) Mostre que
. © Mostre que a nova capacitância é
e que a nova diferença de potencial é
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas com área
e distância entre elas
, que é carregado com uma diferença de potencial
e depois desconectado da fonte. Aí, inserimos um material dielétrico com constante dielétrica
, espessura
e área
entre as placas. Queremos entender como isso afeta o campo elétrico, as densidades de carga
e
, a capacitância e a diferença de potencial.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de capacitores, dielétricos, campo elétrico, densidade de carga e como esses elementos interagem. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Por que o campo elétrico deve ter o mesmo valor no material dielétrico e no espaço livre entre as placas?
Quando inserimos um dielétrico entre as placas de um capacitor que está desconectado da fonte, a carga nas placas não muda. O dielétrico se polariza, criando um campo elétrico interno que se opõe ao campo do capacitor. Para manter a continuidade do campo entre as duas regiões (dielétrico e espaço livre), o campo total precisa ser o mesmo em ambos os meios. Isso garante que não haja acumulação de carga nas interfaces e que o campo seja consistente em todo o espaço entre as placas.
Passo 3
Parte (b): Mostre que
.
Vamos considerar que a densidade de carga total nas placas permanece a mesma, já que o capacitor foi desconectado. Ao inserir o dielétrico, parte da área das placas está em contato com o dielétrico e parte com o ar.
A densidade de carga na interface com o dielétrico é
e com o ar é
. Como a área em contato com o dielétrico é
, e com o ar também é
, a carga total se distribui proporcionalmente.
Sabemos que o campo no dielétrico é reduzido pela constante dielétrica
, então:
Dado que
, temos:
Passo 4
Parte ©: Mostre que a nova capacitância é
e que a nova diferença de potencial é
.
Primeiro, precisamos encontrar a nova capacitância quando parte do capacitor está com dielétrico e parte no vácuo.
A capacitância de um capacitor com diferentes meios pode ser tratada como capacitores em série. A capacitância equivalente é dada por:
Onde:
-
é a capacitância da parte com dielétrico: -
é a capacitância da parte no vácuo:
Agora, substituindo na fórmula:
Portanto:
Parece que houve um erro na distribuição. Vamos reconsiderar a capacitância equivalente corretamente. Na verdade, para capacitores em série:
No entanto, a resposta pede
. Isso sugere que a interpretação está considerando capacitores em paralelo, com as áreas somadas de forma adequada. Revisando isso:
Capacitores com diferentes dielétricos em paralelo têm capacitâncias somadas:
Para a diferença de potencial, como o capacitor foi desconectado, a carga permanece constante. Assim:
Resposta
(a) O campo elétrico é igual no dielétrico e no espaço livre para manter a continuidade e evitar acumulação de carga nas interfaces.
(b)
.
© A nova capacitância é
e a nova diferença de potencial é
.