Um capacitor de placas paralelas com área A e distância de separação d é carregado por uma diferença de potencial V e, em seguida, desconectado da fonte de carga. Um material dielétrico de constante kappa=2, espessura d e área A / 2 é inserido entre as placas. Seja sigma1 a densidade de carga livre na superfície do condutor na interface com o dielétrico e sigma2 a densidade de carga livre no condutor na interface com o ar. (a) Por que o campo elétrico deve ter o mesmo valor no material dielétrico e no espaço livre entre as placas? (b) Mostre que sigma1=2 sigma2. © Mostre que a nova capacitância é 3 varepsilon0 A / 2 d e que a nova diferença de potencial é 2 V / 3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas com área A e distância entre elas d, que é carregado com uma diferença de potencial V e depois desconectado da fonte. Aí, inserimos um material dielétrico com constante dielétrica kappa = 2, espessura d e área A/2 entre as placas. Queremos entender como isso afeta o campo elétrico, as densidades de carga sigma1 e sigma2, a capacitância e a diferença de potencial.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de capacitores, dielétricos, campo elétrico, densidade de carga e como esses elementos interagem. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Por que o campo elétrico deve ter o mesmo valor no material dielétrico e no espaço livre entre as placas?
Quando inserimos um dielétrico entre as placas de um capacitor que está desconectado da fonte, a carga nas placas não muda. O dielétrico se polariza, criando um campo elétrico interno que se opõe ao campo do capacitor. Para manter a continuidade do campo entre as duas regiões (dielétrico e espaço livre), o campo total precisa ser o mesmo em ambos os meios. Isso garante que não haja acumulação de carga nas interfaces e que o campo seja consistente em todo o espaço entre as placas.

Passo 3

Parte (b): Mostre que sigma1 = 2 sigma2.
Vamos considerar que a densidade de carga total nas placas permanece a mesma, já que o capacitor foi desconectado. Ao inserir o dielétrico, parte da área das placas está em contato com o dielétrico e parte com o ar.
A densidade de carga na interface com o dielétrico é sigma1 e com o ar é sigma2. Como a área em contato com o dielétrico é A/2, e com o ar também é A/2, a carga total se distribui proporcionalmente.
Sabemos que o campo no dielétrico é reduzido pela constante dielétrica kappa, então:
sigma1 = kappa sigma2
Dado que kappa = 2, temos:
sigma1 = 2 sigma2

Passo 4

Parte ©: Mostre que a nova capacitância é C' = 3 varepsilon0 A2 d e que a nova diferença de potencial é V' = 2 V3.
Primeiro, precisamos encontrar a nova capacitância quando parte do capacitor está com dielétrico e parte no vácuo.
A capacitância de um capacitor com diferentes meios pode ser tratada como capacitores em série. A capacitância equivalente é dada por:
1C' = 1C1 + 1C2
Onde:
  • C1 é a capacitância da parte com dielétrico: C1 = kappa varepsilon0 (A/2)d = 2 varepsilon0 A2 d = varepsilon0 Ad
  • C2 é a capacitância da parte no vácuo: C2 = varepsilon0 (A/2)d = varepsilon0 A2 d
Agora, substituindo na fórmula:
1C' = 1varepsilon0 Ad + 1varepsilon0 A2 d = dvarepsilon0 A + 2 dvarepsilon0 A = 3 dvarepsilon0 A
Portanto:
C' = varepsilon0 A3 d
Parece que houve um erro na distribuição. Vamos reconsiderar a capacitância equivalente corretamente. Na verdade, para capacitores em série:
C' = ( 1C1 + 1C2 )^-1 = ( dvarepsilon0 A + 2 dvarepsilon0 A )^-1 = varepsilon0 A3 d
No entanto, a resposta pede 3 varepsilon0 A2 d. Isso sugere que a interpretação está considerando capacitores em paralelo, com as áreas somadas de forma adequada. Revisando isso:
Capacitores com diferentes dielétricos em paralelo têm capacitâncias somadas:
C' = Cdielétrico + Cvácuo = kappa varepsilon0 (A/2)d + varepsilon0 (A/2)d = 2 varepsilon0 A2 d + varepsilon0 A2 d = 3 varepsilon0 A2 d éá
Para a diferença de potencial, como o capacitor foi desconectado, a carga permanece constante. Assim:
V' = QC' = C VC' = V times CC' = V times varepsilon0 Ad3 varepsilon0 A2 d = 2 V3

Resposta

(a) O campo elétrico é igual no dielétrico e no espaço livre para manter a continuidade e evitar acumulação de carga nas interfaces.
(b) sigma1 = 2 sigma2.
© A nova capacitância é C' = 3 varepsilon0 A2 d e a nova diferença de potencial é V' = 2 V3.

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