O capacitor de placas paralelas é uma boa aproximação em muitas situações reais.
Usando a lei de Gauss derive a expressão para o campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas paralelas com densidade superficial de cargas sigma.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício quer que a gente use a Lei de Gauss para derivar a expressão do campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas paralelas com densidade superficial de carga sigma. Então, vamos trabalhar com conceitos de Eletrostática e aplicar a Lei de Gauss para achar esse campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é a Lei de Gauss. Essa lei afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica do vácuo, varepsilon0. Matematicamente, fica assim:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0

Passo 3

No caso do capacitor de placas paralelas, temos duas placas com cargas iguais e opostas. Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana que facilite os cálculos. A melhor escolha aqui é uma superfície do tipo “caixa fechada” que envolve uma das placas, de modo que o campo elétrico seja perpendicular às placas e uniforme.

Passo 4

Vamos considerar uma das placas com densidade superficial de carga sigma. A carga total dentro da superfície gaussiana será então Qinterno = sigma cdot A, onde A é a área da placa.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é a soma dos fluxos pelas duas faces da caixa:
oint E cdot dA = E cdot A + E cdot A = 2 E A
Aqui, consideramos que o campo elétrico E é o mesmo em ambas as faces e é perpendicular à área A.

Passo 6

Igualando o fluxo elétrico à carga interna dividida por varepsilon0:
2 E A = sigma Avarepsilon0

Passo 7

Agora, vamos simplificar para encontrar E:
E = sigma2 varepsilon0

Resposta

O campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas paralelas é:
E = sigma2 varepsilon0

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