Considere um gerador de van de Graaff cuja cúpula pode ser modelada por uma esfera de raio 10,2 pm 0,3 cm. Ao aproximarmos uma pequena esfera ligada ao terra observamos que ocorrem faíscas para distâncias menores que 5,2 pm 0,5 cm. Sabendo que a rigidez dielétrica do ar seco é de 3000 Volts / mm, estime o potencial V na superfície da cúpula ( 2 pts ), bem como sua incerteza sigmaV (2pts).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um gerador de Van de Graaff, que é tipo aquele brinquedo gigante que acumula carga elétrica. A cúpula desse gerador é modelada como uma esfera com raio de 10,2 pm 0,3 cm. Quando aproximamos uma pequena esfera ligada ao terra, faíscas aparecem se a distância for menor que 5,2 pm 0,5 cm. A gente quer descobrir qual é o potencial V na superfície da cúpula e a incerteza nessa medida. Para isso, vamos precisar usar a rigidez dielétrica do ar seco, que é de 3000 , V/mm.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando as faíscas acontecem. Elas surgem quando o campo elétrico entre a cúpula e a esfera ligada ao terra atinge a rigidez dielétrica do ar, ou seja, quando o campo elétrico é igual a 3000 , V/mm. O campo elétrico E pode ser calculado pela relação:
E = Vd
Onde:
  • V é o potencial na cúpula.
  • d é a distância mínima onde ocorrem as faíscas.

Passo 3

Como queremos encontrar o potencial V, podemos rearranjar a fórmula:
V = E cdot d
Agora, vamos substituir os valores que temos. Primeiro, vamos converter tudo para as mesmas unidades. A distância d é 5,2 pm 0,5 cm, que em milímetros fica:
d = 52 pm 5 , mm
E o campo elétrico E é dado como 3000 , V/mm.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
V = 3000 , V/mm times 52 , mm = 156,000 , V
Então, o potencial na superfície da cúpula é 156,000 , V.

Passo 5

Agora, vamos calcular a incerteza sigmaV no potencial. Usamos a regra da propagação de incertezas para multiplicação:
sigmaVV = sigmadd
Portanto:
sigmaV = V times sigmadd = 156,000 , V times 552 approx 15,000 , V

Resposta

O potencial na superfície da cúpula é V = 1,56 times 10^5 , V com uma incerteza de sigmaV = 1,5 times 10^4 , V.

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