Considere um gerador de van de Graaff cuja cúpula pode ser modelada por uma esfera de raio 10,2 pm 0,3 cm. Ao aproximarmos uma pequena esfera ligada ao terra observamos que ocorrem faíscas para distâncias menores que 5,2 pm 0,5 cm. Sabendo que a rigidez dielétrica do ar seco é de 3000 Volts / mm, determine a carga total da cúpula ( 2 pts ), bem como sua incerteza ( 2 pts ), explicando seu raciocínio (você pode deixar em função de V e sigmaV caso não tenha resolvido o item a. (considere k=9 times 10^9 Nm^2 / C^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o gerador de Van de Graaff. O problema nos dá o raio da cúpula (10,2 ± 0,3 cm), a distância na qual ocorrem faíscas (5,2 ± 0,5 cm) e a rigidez dielétrica do ar seco (3000 V/mm). A gente precisa encontrar a carga total na cúpula e a incerteza dessa carga. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e força entre cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico na superfície de uma esfera carregada é dado pela fórmula:
E = k cdot QR^2
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga total na cúpula,
  • é o raio da cúpula.

Passo 3

Sabemos que a faísca ocorre quando o campo elétrico atinge a rigidez dielétrica do ar seco. Então, podemos igualar o campo elétrico máximo Ediel = k cdot QR^2 à rigidez dielétrica :

Passo 4

Vamos isolar Q = Ediel cdot R^2k na equação para encontrar a carga total:

Passo 5

Agora, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). O raio R = 10,2 , cm = 0,102 , m está dado em centímetros, então vamos converter para metros:
A distância das faíscas é 5,2 cm, mas como já usamos e , essa informação é usada para verificar a consistência, mas não é necessária diretamente no cálculo.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Q = 3000 times 10^3 , V/m cdot (0,102 , m)^29 times 10^9 , Nm^2/C^2
Note que 3000 V/mm é igual a .

Passo 7

Calculando:
Q = 3000 times 10^3 cdot 0,0104049 times 10^9
Q = 31,2129 times 10^9
Q approx 3,468 times 10^-6 , C

Passo 8

Agora, vamos calcular a incerteza na carga Q = E cdot R^2k usando a propagação de incertezas. A fórmula para De é:
De
Então, a incerteza De é:
De
Portanto:
De

Resposta

A carga total da cúpula é aproximadamente com uma incerteza de .

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