Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R está sendo carregado. Assuma que a carga está sendo aumentada a uma taxa constante por uma corrente constante i.
a) Deduza a expressão para o campo magnético em um raio r tal que r.
b) Qual a magnitude do campo elétrico para r=R / 5=11,0 mm e cuja taxa temporal de variação do campo elétrico seja de 1,5 times 10^12 V / m.s.
c) Deduza a expressão para o campo magnético para r>R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores de placas paralelas carregando com uma corrente constante. A gente vai precisar usar conceitos de campos elétrico e magnético, além de entender como a carga varia com o tempo em um capacitor. Vamos lá dividir em partes para facilitar.

Passo 2

Parte a) Queremos deduzir a expressão para o campo magnético dentro do capacitor quando oint B cdot dl = mu0 ( I + epsilon0 dPhiEdt ) .
Primeiro, lembra que um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância determinada pela geometria das placas. Quando a corrente PhiE = E cdot pi r^2 = sigmaepsilon0 pi r^2 = Qepsilon0 A pi r^2 está carregando o capacitor, a carga PhiE = Qepsilon0 pi R^2 pi r^2 = Q r^2epsilon0 R^2 nas placas aumenta com o tempo. A taxa de variação da carga é dPhiEdt = 1epsilon0 R^2 dQdt r^2 = i r^2epsilon0 R^2 .
Para encontrar o campo magnético, vamos usar a lei de Ampère com a correção de Maxwell, que inclui o deslocamento de corrente:
B (2pi r) = mu0 ( i + epsilon0 i r^2epsilon0 R^2 ) = mu0 i (1 + r^2R^2)
Aqui, B = mu0 i2pi r (1 + r^2R^2) é o fluxo elétrico. Como estamos dentro do capacitor ( ), o campo elétrico é uniforme e dado por , onde é a densidade de carga.
Calculando o fluxo elétrico:
Como , temos:
Derivando em relação ao tempo:
Substituindo na lei de Ampère:
Isolando :

Passo 3

Parte b) Queremos a magnitude do campo elétrico para dEdt = 1epsilon0 dsigmadt e a taxa de variação do campo elétrico dEdt = iepsilon0 A .
Sabemos que o campo elétrico em um capacitor é E(t) = E0 + dEdt t , e sua variação com o tempo está relacionada à corrente. A derivada temporal do campo elétrico é:
Como e :
Queremos encontrar sabendo . Sabemos que:
No entanto, sem mais informações sobre o tempo, consideramos que estamos buscando a expressão geral. Mas, dado que é fornecido, e para :
A magnitude do campo elétrico é apenas , mas sem o tempo específico, não podemos calcular um valor numérico exato. Portanto, assumimos que a informação fornecida já expressa a magnitude em função do tempo.

Passo 4

Parte c) Agora, queremos deduzir a expressão para o campo magnético fora do capacitor, ou seja, para oint B cdot dl = mu0 ( I + epsilon0 dPhiEdt ) .
Usando novamente a lei de Ampère com a correção de Maxwell:
PhiE = Qepsilon0 A pi R^2 = Qepsilon0
Para dPhiEdt = iepsilon0 , todo o fluxo elétrico do capacitor está dentro do caminho de integração. Assim:
B (2pi r) = mu0 ( i + epsilon0 cdot iepsilon0 ) = mu0 (i + i) = 2mu0 i
Derivando em relação ao tempo:
B = 2mu0 i2pi r = mu0 ipi r
Substituindo na lei de Ampère:
Isolando :

Resposta

a) Para , o campo magnético é .
b) A magnitude do campo elétrico em com é , dependendo do tempo considerado.
c) Para , o campo magnético é .

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