Um capacitor de placas paralelas circulares de raio está sendo carregado. Assuma que a carga está sendo aumentada a uma taxa constante por uma corrente constante .
a) Deduza a expressão para o campo magnético em um raio tal que .
b) Qual a magnitude do campo elétrico para e cuja taxa temporal de variação do campo elétrico seja de .s.
c) Deduza a expressão para o campo magnético para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores de placas paralelas carregando com uma corrente constante. A gente vai precisar usar conceitos de campos elétrico e magnético, além de entender como a carga varia com o tempo em um capacitor. Vamos lá dividir em partes para facilitar.

Passo 2

Parte a) Queremos deduzir a expressão para o campo magnético dentro do capacitor quando .
Primeiro, lembra que um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância determinada pela geometria das placas. Quando a corrente está carregando o capacitor, a carga nas placas aumenta com o tempo. A taxa de variação da carga é .
Para encontrar o campo magnético, vamos usar a lei de Ampère com a correção de Maxwell, que inclui o deslocamento de corrente:
Aqui, é o fluxo elétrico. Como estamos dentro do capacitor ( ), o campo elétrico é uniforme e dado por , onde é a densidade de carga.
Calculando o fluxo elétrico:
Como , temos:
Derivando em relação ao tempo:
Substituindo na lei de Ampère:
Isolando :

Passo 3

Parte b) Queremos a magnitude do campo elétrico para e a taxa de variação do campo elétrico .
Sabemos que o campo elétrico em um capacitor é , e sua variação com o tempo está relacionada à corrente. A derivada temporal do campo elétrico é:
Como e :
Queremos encontrar sabendo . Sabemos que:
No entanto, sem mais informações sobre o tempo, consideramos que estamos buscando a expressão geral. Mas, dado que é fornecido, e para :
A magnitude do campo elétrico é apenas , mas sem o tempo específico, não podemos calcular um valor numérico exato. Portanto, assumimos que a informação fornecida já expressa a magnitude em função do tempo.

Passo 4

Parte c) Agora, queremos deduzir a expressão para o campo magnético fora do capacitor, ou seja, para .
Usando novamente a lei de Ampère com a correção de Maxwell:
Para , todo o fluxo elétrico do capacitor está dentro do caminho de integração. Assim:
Derivando em relação ao tempo:
Substituindo na lei de Ampère:
Isolando :

Resposta

a) Para , o campo magnético é .
b) A magnitude do campo elétrico em com é , dependendo do tempo considerado.
c) Para , o campo magnético é .

Exercícios relacionados

A função de onda:
descreve uma onda harmônica em uma corda. (a) Em que sentido viaja esta onda e qual é sua rapidez? (b) Determine o comprimento de onda, a frequência e o período desta onda. © Qual é o deslocamento máximo de qualquer ponto da corda? (d) Qual é a rapidez máxima de qualquer ponto da corda?
Um solenóide longo com raio de 25 mm possui 100 espiras . Uma espira circular de 5 cm de raio é colocada em torno do solenóide de modo que o seu eixo coincida com o eixo do solenoide. A corrente no solenóide reduz- se de 1 A para 0.5 A a uma taxa uniforme num intervalo de tempo de 10 ms. Qual e a fem que aparece na espira?
A partir das Equações de Maxwell na forma integral. Obtenha a forma diferencial (em termos de divergentes e rotacionais).
A frequência da buzina de um carro é . Se a buzina é tocada quando o carro se move com uma rapidez (cerca de ) em ar parado, ao encontro de um receptor estacionário, determine:
(a) O comprimento de onda do som que chega ao receptor;
(b) A frequência recebida. Tome a rapidez do som no ar como ;
© Determine o comprimento de onda do som que chega ao receptor e a frequência recebida, se o carro está parado quando a buzina é tocada e um receptor se move com uma rapidez ao encontro do carro.