Um capacitor de placas paralelas circulares de raio
está sendo carregado. Assuma que a carga está sendo aumentada a uma taxa constante por uma corrente constante
.
a) Deduza a expressão para o campo magnético em um raio
tal que
.
b) Qual a magnitude do campo elétrico para
e cuja taxa temporal de variação do campo elétrico seja de
.s.
c) Deduza a expressão para o campo magnético para
.
a) Deduza a expressão para o campo magnético em um raio
b) Qual a magnitude do campo elétrico para
c) Deduza a expressão para o campo magnético para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores de placas paralelas carregando com uma corrente constante. A gente vai precisar usar conceitos de campos elétrico e magnético, além de entender como a carga varia com o tempo em um capacitor. Vamos lá dividir em partes para facilitar.
Passo 2
Parte a) Queremos deduzir a expressão para o campo magnético dentro do capacitor quando
.
Primeiro, lembra que um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância determinada pela geometria das placas. Quando a corrente
está carregando o capacitor, a carga
nas placas aumenta com o tempo. A taxa de variação da carga é
.
Para encontrar o campo magnético, vamos usar a lei de Ampère com a correção de Maxwell, que inclui o deslocamento de corrente:
Aqui,
é o fluxo elétrico. Como estamos dentro do capacitor (
), o campo elétrico
é uniforme e dado por
, onde
é a densidade de carga.
Calculando o fluxo elétrico:
Como
, temos:
Derivando em relação ao tempo:
Substituindo na lei de Ampère:
Isolando
:
Passo 3
Parte b) Queremos a magnitude do campo elétrico para
e a taxa de variação do campo elétrico
.
Sabemos que o campo elétrico em um capacitor é
, e sua variação com o tempo está relacionada à corrente. A derivada temporal do campo elétrico é:
Como
e
:
Queremos encontrar
sabendo
. Sabemos que:
No entanto, sem mais informações sobre o tempo, consideramos que estamos buscando a expressão geral. Mas, dado que
é fornecido, e para
:
A magnitude do campo elétrico é apenas
, mas sem o tempo específico, não podemos calcular um valor numérico exato. Portanto, assumimos que a informação fornecida já expressa a magnitude em função do tempo.
Passo 4
Parte c) Agora, queremos deduzir a expressão para o campo magnético fora do capacitor, ou seja, para
.
Usando novamente a lei de Ampère com a correção de Maxwell:
Para
, todo o fluxo elétrico do capacitor está dentro do caminho de integração. Assim:
Derivando em relação ao tempo:
Substituindo na lei de Ampère:
Isolando
:
Resposta
a) Para
, o campo magnético é
.
b) A magnitude do campo elétrico em
com
é
, dependendo do tempo considerado.
c) Para
, o campo magnético é
.