A partir das Equações de Maxwell na forma integral. Obtenha a forma diferencial (em termos de divergentes e rotacionais).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para transformar as Equações de Maxwell da forma integral para a forma diferencial. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial como divergentes e rotacionais. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre os teoremas de Gauss e de Stokes, que fazem a ponte entre as formas integrais e diferenciais dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Maxwell na forma integral que você me deu:
Essas são as quatro equações fundamentais que descrevem como os campos elétrico
e magnético
se comportam.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) para converter as equações (1) e (2) da forma integral para a forma diferencial. O Teorema da Divergência diz que para qualquer campo vetorial
:
Isso relaciona a integral de superfície do campo vetorial à integral do divergente do campo sobre o volume.
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência à primeira equação de Maxwell (1):
Como isso deve ser válido para qualquer volume, concluímos que:
Aqui,
é a densidade de carga elétrica.
Analogamente, aplicando o Teorema da Divergência à segunda equação de Maxwell (2):
Isso implica que:
Passo 5
Agora, vamos converter as equações (3) e (4) usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial à integral de superfície do rotacional desse campo:
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes à terceira equação de Maxwell (3):
Como isso deve ser válido para qualquer superfície, temos:
Aqui, usamos que a variação do fluxo magnético
está relacionada à derivada temporal do campo magnético
.
Aplicando o Teorema de Stokes à quarta equação de Maxwell (4):
Isso leva a:
Onde
é a densidade de corrente elétrica.
Resposta
As Equações de Maxwell na forma diferencial são:
Exercícios relacionados
Um capacitor de placas paralelas circulares de raio
está sendo carregado. Assuma que a carga está sendo aumentada a uma taxa constante por uma corrente constante
.
a) Deduza a expressão para o campo magnético em um raio tal que
.
b) Qual a magnitude do campo elétrico para e cuja taxa temporal de variação do campo elétrico seja de
.s.
c) Deduza a expressão para o campo magnético para .
a) Deduza a expressão para o campo magnético em um raio
b) Qual a magnitude do campo elétrico para
c) Deduza a expressão para o campo magnético para
A função de onda:
descreve uma onda harmônica em uma corda. (a) Em que sentido viaja esta onda e qual é sua rapidez? (b) Determine o comprimento de onda, a frequência e o período desta onda. © Qual é o deslocamento máximo de qualquer ponto da corda? (d) Qual é a rapidez máxima de qualquer ponto da corda?
A frequência da buzina de um carro é
. Se a buzina é tocada quando o carro se move com uma rapidez
(cerca de
) em ar parado, ao encontro de um receptor estacionário, determine:
(a) O comprimento de onda do som que chega ao receptor;
(b) A frequência recebida. Tome a rapidez do som no ar como ;
© Determine o comprimento de onda do som que chega ao receptor e a frequência recebida, se o carro está parado quando a buzina é tocada e um receptor se move com uma rapidez
ao encontro do carro.
(a) O comprimento de onda do som que chega ao receptor;
(b) A frequência recebida. Tome a rapidez do som no ar como
© Determine o comprimento de onda do som que chega ao receptor e a frequência recebida, se o carro está parado quando a buzina é tocada e um receptor se move com uma rapidez
Considere os dados do enunciado do problema 65 do livro-texto (problema anterior).
Aplique as regras de Kirchhoff a duas malhas do circuito e calcule:
a carga do capacitor em função do tempo;
Aplique as regras de Kirchhoff a duas malhas do circuito e calcule:
a carga do capacitor em função do tempo;