A partir das Equações de Maxwell na forma integral. Obtenha a forma diferencial (em termos de divergentes e rotacionais).
& oint E cdot d A=qenc / varepsilon0 & oint B cdot d A=0 & oint E cdot d s=-d PhiBd t & oint B cdot d s=mu0 varepsilon0 d PhiEd t+mu0 ienc

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para transformar as Equações de Maxwell da forma integral para a forma diferencial. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial como divergentes e rotacionais. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre os teoremas de Gauss e de Stokes, que fazem a ponte entre as formas integrais e diferenciais dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Maxwell na forma integral que você me deu:
& oint E cdot d A= qencvarepsilon0 &(1) & oint B cdot d A=0 &(2) & oint E cdot d s=-d PhiBd t &(3) & oint B cdot d s=mu0 varepsilon0 d PhiEd t+mu0 ienc &(4)
Essas são as quatro equações fundamentais que descrevem como os campos elétrico E e magnético B se comportam.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) para converter as equações (1) e (2) da forma integral para a forma diferencial. O Teorema da Divergência diz que para qualquer campo vetorial F:
oint F cdot dA = integral (nabla cdot F) , dV
Isso relaciona a integral de superfície do campo vetorial à integral do divergente do campo sobre o volume.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência à primeira equação de Maxwell (1):
oint E cdot dA = qencvarepsilon0 implies integral (nabla cdot E) , dV = qencvarepsilon0
Como isso deve ser válido para qualquer volume, concluímos que:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Aqui, rho é a densidade de carga elétrica.
Analogamente, aplicando o Teorema da Divergência à segunda equação de Maxwell (2):
oint B cdot dA = 0 implies integral (nabla cdot B) , dV = 0
Isso implica que:
nabla cdot B = 0

Passo 5

Agora, vamos converter as equações (3) e (4) usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial à integral de superfície do rotacional desse campo:
oint F cdot ds = integral (nabla times F) cdot dA

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes à terceira equação de Maxwell (3):
oint E cdot ds = -d PhiBd t implies integral (nabla times E) cdot dA = -d PhiBd t
Como isso deve ser válido para qualquer superfície, temos:
nabla times E = -partial Bpartial t
Aqui, usamos que a variação do fluxo magnético PhiB está relacionada à derivada temporal do campo magnético B.
Aplicando o Teorema de Stokes à quarta equação de Maxwell (4):
oint B cdot ds = mu0 varepsilon0 d PhiEd t + mu0 ienc implies integral (nabla times B) cdot dA = mu0 varepsilon0 d PhiEd t + mu0 ienc
Isso leva a:
nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t + mu0 J
Onde J é a densidade de corrente elétrica.

Resposta

As Equações de Maxwell na forma diferencial são:
& nabla cdot E = rhovarepsilon0 & nabla cdot B = 0 & nabla times E = -partial Bpartial t & nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t + mu0 J

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