A partir das Equações de Maxwell na forma integral. Obtenha a forma diferencial (em termos de divergentes e rotacionais).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para transformar as Equações de Maxwell da forma integral para a forma diferencial. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial como divergentes e rotacionais. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre os teoremas de Gauss e de Stokes, que fazem a ponte entre as formas integrais e diferenciais dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Maxwell na forma integral que você me deu:
Essas são as quatro equações fundamentais que descrevem como os campos elétrico
e magnético
se comportam.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) para converter as equações (1) e (2) da forma integral para a forma diferencial. O Teorema da Divergência diz que para qualquer campo vetorial
:
Isso relaciona a integral de superfície do campo vetorial à integral do divergente do campo sobre o volume.
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência à primeira equação de Maxwell (1):
Como isso deve ser válido para qualquer volume, concluímos que:
Aqui,
é a densidade de carga elétrica.
Analogamente, aplicando o Teorema da Divergência à segunda equação de Maxwell (2):
Isso implica que:
Passo 5
Agora, vamos converter as equações (3) e (4) usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial à integral de superfície do rotacional desse campo:
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes à terceira equação de Maxwell (3):
Como isso deve ser válido para qualquer superfície, temos:
Aqui, usamos que a variação do fluxo magnético
está relacionada à derivada temporal do campo magnético
.
Aplicando o Teorema de Stokes à quarta equação de Maxwell (4):
Isso leva a:
Onde
é a densidade de corrente elétrica.
Resposta
As Equações de Maxwell na forma diferencial são: