Um capacitor de placas paralelas tem uma carga inicial q e uma distância de separação entre as placas d. Quanto trabalho você deve realizar, em termos de q, d, e área da placa A, para aumentar a distância de separação para 3 d se:
b) o capacitor estiver conectado a uma bateria;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas com uma carga inicial , uma distância entre as placas , e uma área das placas . A tarefa é calcular o trabalho que precisamos realizar para aumentar a distância entre as placas de para , considerando que o capacitor está conectado a uma bateria.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância, energia armazenada em um capacitor e como esses valores mudam quando alteramos a distância entre as placas mantendo o capacitor conectado a uma fonte de tensão constante (a bateria).

Passo 2

Primeiro, sabemos que a capacitância C = varepsilon0 Ad de um capacitor de placas paralelas é dada pela fórmula:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.
Essa fórmula nos mostra que a capacitância é inversamente proporcional à distância entre as placas.

Passo 3

Como o capacitor está conectado a uma bateria, a voltagem C' = varepsilon0 A3d = C3 entre as placas é mantida constante enquanto a separação das placas muda. Quando aumentamos a distância para , a nova capacitância será:
Isso significa que a capacitância diminui para um terço do valor original quando a distância triplica.

Passo 4

A carga q = C cdot V armazenada em um capacitor é relacionada à capacitância e à voltagem pela fórmula:
q = C cdot V
Inicialmente, temos:
q' = C' cdot V = C3 cdot V = q3
Após aumentar a distância, a nova carga será:
Isso mostra que a carga armazenada diminui para um terço da carga inicial quando a capacitância diminui.

Passo 5

A energia armazenada em um capacitor é dada por:
U = 12 C V^2
Inicialmente, a energia armazenada é:
Ui = 12 C V^2
Após aumentar a distância, a nova energia armazenada é:
Uf = 12 C' V^2 = 12 (C3) V^2 = Ui3

Passo 6

O trabalho realizado W = Uf - Ui = Ui3 - Ui = -23 Ui para aumentar a distância entre as placas é a diferença na energia armazenada:
|W| = 23 Ui
O sinal negativo indica que a energia foi retirada do sistema. Porém, como estamos interessados no valor absoluto do trabalho realizado, consideramos:
Ui = 12 C V^2 = q^22C
Substituindo |W| = 23 cdot q^22C = q^23C pela expressão em termos de |W| = q^23 cdot varepsilon0 Ad = q^2 d3 varepsilon0 A , temos:
Então:
Substituindo :

Resposta

O trabalho realizado é .

Exercícios relacionados