Uma esfera condutora sólida de raio é inserida em uma casca esférica não condutora e esfericamente neutra com raio externo igual a e raio interno igual a , e que é feita de um material com constante dielétrica . Considere que o potencial no centro da esfera é . Considere também que o campo elétrico na superfície externa da casca está direcionado para longe da superfície e tem uma magnitude de .
a) Qual é a constante dielétrica do dielétrico em função dos outros parâmetros dados no enunciado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora sólida de raio inserida dentro de uma casca esférica não condutora que é eletricamente neutra. A casca tem raio interno e externo e é feita de um material com constante dielétrica . Sabemos que o potencial no centro da esfera é e que o campo elétrico na superfície externa da casca aponta para fora com magnitude .
Conteúdo da matéria: Eletrostática, especificamente campos elétricos em dielétricos e condutores.
O que vamos precisar:
  • Lei de Gauss para calcular campos elétricos.
  • Relação entre potencial elétrico, campo elétrico e constante dielétrica.
  • Propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a esfera condutora. Como ela é condutora e está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do condutor é zero, e toda a carga elétrica reside na superfície.
Teoria Aplicada: Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior é zero, e a carga se distribui na superfície.

Passo 3

Agora, consideramos a casca dielétrica ao redor. Sabemos que a casca é eletricamente neutra, mas a presença da esfera condutora pode induzir uma separação de cargas na casca.
Teoria Aplicada: Em presença de um condutor, cargas induzidas aparecem na superfície interna e externa de um dielétrico para manter a neutralidade e equilibrar os campos elétricos.

Passo 4

Usaremos a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico na superfície externa da casca. Consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio , onde o campo elétrico é .
A Lei de Gauss diz:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.
Teoria Aplicada: A Lei de Gauss em meios dielétricos envolve a constante dielétrica , que altera a relação entre o fluxo elétrico e a carga encerrada.

Passo 5

Sabemos que o campo elétrico na superfície externa é , e a área da superfície esférica é . Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 6

A carga total dentro da superfície gaussiana inclui a carga na esfera condutora e qualquer carga induzida na casca. Como a casca é neutra, a carga na esfera é e a carga na superfície interna da casca é , mantendo a casca como um todo neutra.
Portanto, .

Passo 7

Igualando as expressões para :
Agora, precisamos relacionar com o potencial no centro da esfera.

Passo 8

O potencial no centro da esfera condutora é dado por:
Teoria Aplicada: O potencial devido a uma esfera condutora carregada é o mesmo que se toda a carga estivesse no centro.

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Agora, substituímos essa expressão de na equação que obtivemos anteriormente:

Passo 11

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Passo 12

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A constante dielétrica é dada por:

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