Uma esfera condutora sólida de raio
é inserida em uma casca esférica não condutora e esfericamente neutra com raio externo igual a
e raio interno igual a
, e que é feita de um material com constante dielétrica
. Considere que o potencial no centro da esfera é
. Considere também que o campo elétrico na superfície externa da casca está direcionado para longe da superfície e tem uma magnitude de
.
a) Qual é a constante dielétrica
do dielétrico em função dos outros parâmetros dados no enunciado?
a) Qual é a constante dielétrica
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora sólida de raio
inserida dentro de uma casca esférica não condutora que é eletricamente neutra. A casca tem raio interno
e externo
e é feita de um material com constante dielétrica
. Sabemos que o potencial no centro da esfera é
e que o campo elétrico na superfície externa da casca aponta para fora com magnitude
.
Conteúdo da matéria: Eletrostática, especificamente campos elétricos em dielétricos e condutores.
O que vamos precisar:
- Lei de Gauss para calcular campos elétricos.
- Relação entre potencial elétrico, campo elétrico e constante dielétrica.
- Propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a esfera condutora. Como ela é condutora e está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do condutor é zero, e toda a carga elétrica reside na superfície.
Teoria Aplicada: Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior é zero, e a carga se distribui na superfície.
Passo 3
Agora, consideramos a casca dielétrica ao redor. Sabemos que a casca é eletricamente neutra, mas a presença da esfera condutora pode induzir uma separação de cargas na casca.
Teoria Aplicada: Em presença de um condutor, cargas induzidas aparecem na superfície interna e externa de um dielétrico para manter a neutralidade e equilibrar os campos elétricos.
Passo 4
Usaremos a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico na superfície externa da casca. Consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio
, onde o campo elétrico é
.
A Lei de Gauss diz:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo.
Teoria Aplicada: A Lei de Gauss em meios dielétricos envolve a constante dielétrica
, que altera a relação entre o fluxo elétrico e a carga encerrada.
Passo 5
Sabemos que o campo elétrico na superfície externa é
, e a área da superfície esférica é
. Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 6
A carga total
dentro da superfície gaussiana inclui a carga na esfera condutora e qualquer carga induzida na casca. Como a casca é neutra, a carga na esfera é
e a carga na superfície interna da casca é
, mantendo a casca como um todo neutra.
Portanto,
.
Passo 7
Igualando as expressões para
:
Agora, precisamos relacionar
com o potencial
no centro da esfera.
Passo 8
O potencial
no centro da esfera condutora é dado por:
Teoria Aplicada: O potencial devido a uma esfera condutora carregada é o mesmo que se toda a carga estivesse no centro.
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora, substituímos essa expressão de
na equação que obtivemos anteriormente:
Passo 11
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 12
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A constante dielétrica
é dada por: