Uma esfera condutora sólida de raio
é inserida em uma casca esférica não condutora e esfericamente neutra com raio externo igual a
e raio interno igual a
, e que é feita de um material com constante dielétrica
. Considere que o potencial no centro da esfera é
. Considere também que o campo elétrico na superfície externa da casca está direcionado para longe da superfície e tem uma magnitude de
.
b) Qual é a carga total na esfera condutora sólida?
b) Qual é a carga total na esfera condutora sólida?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma esfera condutora sólida de raio
inserida numa casca esférica não condutora com raio interno
e externo
. A casca é feita de um material dielétrico com constante dielétrica
e está neutra no total. Sabemos que o potencial no centro da esfera é
e o campo elétrico na superfície externa da casca é
. Precisamos descobrir qual é a carga total na esfera condutora. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática como Lei de Gauss, potencial elétrico e propriedades de materiais dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, a carga se distribui apenas na superfície. Então, vamos chamar a carga total na esfera de
. Essa carga vai induzir uma carga oposta na superfície interna da casca dielétrica para manter a neutralidade.
Passo 3
Como a casca é neutra e a esfera tem carga
, a superfície interna da casca vai ter uma carga
para neutralizar o campo interno. Consequentemente, a superfície externa da casca terá uma carga
para manter a neutralidade geral da casca.
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei de Gauss para relacionar o campo elétrico na superfície externa da casca com a carga total. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
e
é a permissividade do vácuo. A superfície gaussiana é a superfície externa da casca de raio
.
Passo 5
O campo elétrico
na superfície externa é uniforme e direcionado para longe, então a integral da Lei de Gauss fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, isolamos
para encontrar a carga total na esfera:
Resposta
A carga total na esfera condutora sólida é
.