Uma esfera condutora sólida de raio R é inserida em uma casca esférica não condutora e esfericamente neutra com raio externo igual a 2 R e raio interno igual a R, e que é feita de um material com constante dielétrica kappa. Considere que o potencial no centro da esfera é V. Considere também que o campo elétrico na superfície externa da casca está direcionado para longe da superfície e tem uma magnitude de E.
b) Qual é a carga total na esfera condutora sólida?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma esfera condutora sólida de raio inserida numa casca esférica não condutora com raio interno e externo . A casca é feita de um material dielétrico com constante dielétrica e está neutra no total. Sabemos que o potencial no centro da esfera é e o campo elétrico na superfície externa da casca é . Precisamos descobrir qual é a carga total na esfera condutora. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática como Lei de Gauss, potencial elétrico e propriedades de materiais dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, a carga se distribui apenas na superfície. Então, vamos chamar a carga total na esfera de . Essa carga vai induzir uma carga oposta na superfície interna da casca dielétrica para manter a neutralidade.

Passo 3

Como a casca é neutra e a esfera tem carga , a superfície interna da casca vai ter uma carga para neutralizar o campo interno. Consequentemente, a superfície externa da casca terá uma carga para manter a neutralidade geral da casca.

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para relacionar o campo elétrico na superfície externa da casca com a carga total. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0 kappa
Onde e é a permissividade do vácuo. A superfície gaussiana é a superfície externa da casca de raio .

Passo 5

O campo elétrico E cdot 4pi (2R)^2 = Qvarepsilon0 kappa na superfície externa é uniforme e direcionado para longe, então a integral da Lei de Gauss fica:
E cdot 16pi R^2 = Qvarepsilon0 kappa
Simplificando:

Passo 6

Agora, isolamos Q = 16pi varepsilon0 kappa R^2 E para encontrar a carga total na esfera:

Resposta

A carga total na esfera condutora sólida é .

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