Considere dois planetas orbitando a mesma estrela em órbitas circulares. Em um determinado momento eles se encontram à distância minima que pode existir entre eles. Conhecendo os períodos orbitais dos dois planetas P1=4,5 anos e P2=7,4 anos, depois de quanto tempo, aproximadamente, essa configuração da distância minima irá se repetir?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planetas que orbitam a mesma estrela em trajetórias circulares. No momento inicial, eles estão na menor distância possível um do outro. Sabemos os períodos orbitais desses planetas: o primeiro planeta leva P1 = 4,5 anos para completar uma órbita, e o segundo leva P2 = 7,4 anos. Queremos descobrir depois de quanto tempo essa configuração de distância mínima vai se repetir.

Passo 2

Para resolver esse problema, precisamos calcular o período sinódico, que é o tempo que leva para que os dois planetas se alinhem novamente na mesma configuração relativa. O período sinódico ( S) pode ser encontrado usando a fórmula:
1S = | 1P1 - 1P2 |
Isso basicamente significa que estamos encontrando a diferença nas velocidades orbitais dos dois planetas.

Passo 3

Vamos aplicar os valores fornecidos na fórmula. Primeiro, vamos calcular 1P1 e 1P2:
1P1 = 14,5 approx 0,2222 , anos^-1
1P2 = 17,4 approx 0,1351 , anos^-1

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença absoluta entre essas duas taxas:
| 1P1 - 1P2 | = | 0,2222 - 0,1351 | = 0,0871 , anos^-1

Passo 5

Com essa diferença, podemos encontrar o período sinódico S invertendo o valor:
S = 10,0871 approx 11,49 , anos

Resposta

A configuração de distância mínima entre os dois planetas se repetirá aproximadamente a cada 11,5 anos.

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