Um capacitor de placas planas, paralelas, de área e separadas por uma distância , é construido com um dielétrico de constante variável expressa por , onde a placa inferior está em e a superior em . Qual a capacitância deste capacitor? (Resp. )

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas planas e paralelas, com área e separação . Esse capacitor está preenchido com um material dielétrico cuja constante depende da posição , dada por . Nosso objetivo é encontrar a capacitância desse capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender como a capacitância é calculada quando a constante dielétrica não é uniforme, ou seja, varia com a posição.

Passo 2

Quando a constante dielétrica varia ao longo da distância entre as placas, podemos dividir o capacitor em infinitas fatias fininhas na direção . Cada fatia tem uma espessura e, por isso, uma constante dielétrica específica . Cada uma dessas fatias pode ser tratada como um capacitor isolado com capacitância diferencial .

Passo 3

Para cada fatia infinitesimal, a capacitância diferencial é dada por:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é a área das placas, e é a espessura da fatia. Como as fatias estão dispostas em série ao longo da distância , a capacitância total do capacitor é obtida somando as recíprocas das capacitâncias diferenciais.

Passo 4

A relação para capacitores em série nos diz que:
Substituímos na integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. Para facilitar, fazemos uma substituição:
Seja , então ou . Alterando os limites de integração: quando , ; quando , .
Substituindo na integral:

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a capacitância total:

Resposta

A capacitância do capacitor é:

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