Um capacitor de placas planas, paralelas, de área A e separadas por uma distância yo, é construido com um dielétrico de constante variável expressa por k=1+3 y / yo, onde a placa inferior está em y=0 e a superior em y=yo. Qual a capacitância deste capacitor? (Resp. C=3 epsilono Ayo ln 4 )

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas planas e paralelas, com área A e separação yo. Esse capacitor está preenchido com um material dielétrico cuja constante depende da posição y, dada por k = 1 + dfrac3yyo. Nosso objetivo é encontrar a capacitância desse capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender como a capacitância é calculada quando a constante dielétrica não é uniforme, ou seja, varia com a posição.

Passo 2

Quando a constante dielétrica varia ao longo da distância entre as placas, podemos dividir o capacitor em infinitas fatias fininhas na direção y. Cada fatia tem uma espessura dy e, por isso, uma constante dielétrica específica k(y) = 1 + dfrac3yyo. Cada uma dessas fatias pode ser tratada como um capacitor isolado com capacitância diferencial dC.

Passo 3

Para cada fatia infinitesimal, a capacitância diferencial é dada por:
dC = dfrack(y) epsilono Ady
Aqui, epsilono é a permissividade do vácuo, A é a área das placas, e dy é a espessura da fatia. Como as fatias estão dispostas em série ao longo da distância yo, a capacitância total do capacitor é obtida somando as recíprocas das capacitâncias diferenciais.

Passo 4

A relação para capacitores em série nos diz que:
dfrac1C = integral0^yo dfrac1dC = integral0^yo dfracdyk(y) epsilono A
Substituímos k(y) na integral:
dfrac1C = integral0^yo dfracdy(1 + dfrac3yyo) epsilono A = dfrac1epsilono A integral0^yo dfracdy1 + dfrac3yyo

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. Para facilitar, fazemos uma substituição:
Seja u = 1 + dfrac3yyo, então dfracdudy = dfrac3yo ou dy = dfracyo3 du. Alterando os limites de integração: quando y = 0, u = 1; quando y = yo, u = 4.
Substituindo na integral:
dfrac1C = dfrac1epsilono A cdot dfracyo3 integral1^4 dfracduu = dfracyo3 epsilono A ln ( dfrac41 ) = dfracyo3 epsilono A ln 4

Passo 6

Finalmente, isolamos C para encontrar a capacitância total:
C = dfrac3 epsilono Ayo ln 4

Resposta

A capacitância do capacitor é:
C = dfrac3 epsilono Ayo ln 4

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