Um capacitor de placas planas, paralelas, de área
e separadas por uma distância
, é construido com um dielétrico de constante variável expressa por
, onde a placa inferior está em
e a superior em
. Qual a capacitância deste capacitor? (Resp.
)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas planas e paralelas, com área
e separação
. Esse capacitor está preenchido com um material dielétrico cuja constante depende da posição
, dada por
. Nosso objetivo é encontrar a capacitância desse capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender como a capacitância é calculada quando a constante dielétrica não é uniforme, ou seja, varia com a posição.
Passo 2
Quando a constante dielétrica varia ao longo da distância entre as placas, podemos dividir o capacitor em infinitas fatias fininhas na direção
. Cada fatia tem uma espessura
e, por isso, uma constante dielétrica específica
. Cada uma dessas fatias pode ser tratada como um capacitor isolado com capacitância diferencial
.
Passo 3
Para cada fatia infinitesimal, a capacitância diferencial é dada por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é a área das placas, e
é a espessura da fatia. Como as fatias estão dispostas em série ao longo da distância
, a capacitância total do capacitor é obtida somando as recíprocas das capacitâncias diferenciais.
Passo 4
A relação para capacitores em série nos diz que:
Substituímos
na integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral. Para facilitar, fazemos uma substituição:
Seja
, então
ou
. Alterando os limites de integração: quando
,
; quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a capacitância total:
Resposta
A capacitância do capacitor é:
Exercícios relacionados
O espaço entre duas cascas esféricas cocêntricas, condutoras, de raios
e
com
, está preenchido por um material com resistividade
. Mostre que a resistência elétrica entre as cascas é expressa por
Considere um cilindro condutor de raio
envolto por duas cascas cilíndricas condutoras de mesmo comprimento e raios
e
, onde
. Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio
é
e que o espaço entre as cascas cilíndricas está preenchido por um material de constante dielétrica
, mostre que: a) a ddp entre o condutor e a casca interna é
; b) a ddp entre as duas cascas é
.
Uma ddp de
é estabelecida entre as extremidades de um fio de cobre (resistividade
) de
de comprimento com um raio de
. Qual é carga que passa por uma seção reta deste fio em
? (Resp.
)
Considere uma esfera condutora de raio
envolta por duas cascas esféricas condutoras de raios
e
, onde
. Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio
é
e que o espaço entre as cascas esféricas está preenchido por um material de constante dielétrica
, mostre que: a) a ddp entre esfera e a casca interna é
; b) a ddp entre as duas cascas é
.