O espaço entre duas cascas esféricas cocêntricas, condutoras, de raios e com , está preenchido por um material com resistividade . Mostre que a resistência elétrica entre as cascas é expressa por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cascas esféricas condutoras, uma menor com raio e outra maior com raio , e o espaço entre elas está preenchido com um material que tem uma resistividade . A matéria que vamos precisar aqui é a resistência elétrica em geometria esférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência elétrica e entender como ela se comporta entre superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da resistência elétrica:
Onde:
  • é a resistência,
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento do caminho pelo qual a corrente passa,
  • é a área da seção transversal.
No nosso caso, como estamos lidando com camadas esféricas, não temos um único comprimento ou área , mas sim uma distribuição contínua de camadas infinitesimais. Então, precisamos integrar essas pequenas resistências ao longo da distância entre as duas cascas.

Passo 3

Considerando uma camada esférica infinitesimal com raio e espessura , a resistência dessa camada pode ser expressa como:
onde é a área superficial da casca esférica no raio . A área de uma esfera é , então:

Passo 4

Para encontrar a resistência total entre as duas cascas, precisamos somar todas essas pequenas resistências desde até . Isso é feito através de uma integral:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
A integral de em relação a é . Portanto:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

A resistência elétrica entre as cascas esféricas é:

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Considere um cilindro condutor de raio envolto por duas cascas cilíndricas condutoras de mesmo comprimento e raios e , onde . Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio é e que o espaço entre as cascas cilíndricas está preenchido por um material de constante dielétrica , mostre que: a) a ddp entre o condutor e a casca interna é ; b) a ddp entre as duas cascas é .
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(a) Calcule a força atuando sobre a carga .
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