O espaço entre duas cascas esféricas cocêntricas, condutoras, de raios
e
com
, está preenchido por um material com resistividade
. Mostre que a resistência elétrica entre as cascas é expressa por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cascas esféricas condutoras, uma menor com raio
e outra maior com raio
, e o espaço entre elas está preenchido com um material que tem uma resistividade
. A matéria que vamos precisar aqui é a resistência elétrica em geometria esférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência elétrica e entender como ela se comporta entre superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da resistência elétrica:
Onde:
-
é a resistência, -
é a resistividade do material, -
é o comprimento do caminho pelo qual a corrente passa, -
é a área da seção transversal.
No nosso caso, como estamos lidando com camadas esféricas, não temos um único comprimento
ou área
, mas sim uma distribuição contínua de camadas infinitesimais. Então, precisamos integrar essas pequenas resistências ao longo da distância entre as duas cascas.
Passo 3
Considerando uma camada esférica infinitesimal com raio
e espessura
, a resistência
dessa camada pode ser expressa como:
onde
é a área superficial da casca esférica no raio
. A área de uma esfera é
, então:
Passo 4
Para encontrar a resistência total
entre as duas cascas, precisamos somar todas essas pequenas resistências desde
até
. Isso é feito através de uma integral:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
A integral de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
A resistência elétrica entre as cascas esféricas é:
Exercícios relacionados
Considere um cilindro condutor de raio
envolto por duas cascas cilíndricas condutoras de mesmo comprimento e raios
e
, onde
. Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio
é
e que o espaço entre as cascas cilíndricas está preenchido por um material de constante dielétrica
, mostre que: a) a ddp entre o condutor e a casca interna é
; b) a ddp entre as duas cascas é
.
Considere um sistema contendo duas cargas uma com
e outra com
localizadas em
.
(a) Calcule a força atuando sobre a carga .
(a) Calcule a força atuando sobre a carga
Um capacitor de placas planas, paralelas, de área
e separadas por uma distância
, é construido com um dielétrico de constante variável expressa por
, onde a placa inferior está em
e a superior em
. Qual a capacitância deste capacitor? (Resp.
)
Uma ddp de
é estabelecida entre as extremidades de um fio de cobre (resistividade
) de
de comprimento com um raio de
. Qual é carga que passa por uma seção reta deste fio em
? (Resp.
)