O espaço entre duas cascas esféricas cocêntricas, condutoras, de raios a e b com a, está preenchido por um material com resistividade rho. Mostre que a resistência elétrica entre as cascas é expressa por R=rho4 pi(b-aa b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cascas esféricas condutoras, uma menor com raio e outra maior com raio , e o espaço entre elas está preenchido com um material que tem uma resistividade . A matéria que vamos precisar aqui é a resistência elétrica em geometria esférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência elétrica e entender como ela se comporta entre superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da resistência elétrica:
R = rho cdot LA
Onde:
  • é a resistência,
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento do caminho pelo qual a corrente passa,
  • é a área da seção transversal.
No nosso caso, como estamos lidando com camadas esféricas, não temos um único comprimento ou área , mas sim uma distribuição contínua de camadas infinitesimais. Então, precisamos integrar essas pequenas resistências ao longo da distância entre as duas cascas.

Passo 3

Considerando uma camada esférica infinitesimal com raio dR = rho cdot drA(r) e espessura dR = rho cdot dr4pi r^2 , a resistência dessa camada pode ser expressa como:
onde é a área superficial da casca esférica no raio . A área de uma esfera é , então:

Passo 4

Para encontrar a resistência total R = integrala^b rho4pi r^2 , dr entre as duas cascas, precisamos somar todas essas pequenas resistências desde até . Isso é feito através de uma integral:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
R = rho4pi integrala^b 1r^2 , dr
A integral de R = rho4pi [ -1r ]a^b = rho4pi ( -1b + 1a ) em relação a é . Portanto:

Passo 6

Simplificando a expressão:
R = rho4pi ( 1a - 1b ) = rho4pi cdot b - aa b

Resposta

A resistência elétrica entre as cascas esféricas é:
R = rho4 pi ( b - aa b )

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