O espaço entre duas cascas esféricas cocêntricas, condutoras, de raios
e
com
, está preenchido por um material com resistividade
. Mostre que a resistência elétrica entre as cascas é expressa por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cascas esféricas condutoras, uma menor com raio
e outra maior com raio
, e o espaço entre elas está preenchido com um material que tem uma resistividade
. A matéria que vamos precisar aqui é a resistência elétrica em geometria esférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência elétrica e entender como ela se comporta entre superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da resistência elétrica:
Onde:
-
é a resistência, -
é a resistividade do material, -
é o comprimento do caminho pelo qual a corrente passa, -
é a área da seção transversal.
No nosso caso, como estamos lidando com camadas esféricas, não temos um único comprimento
ou área
, mas sim uma distribuição contínua de camadas infinitesimais. Então, precisamos integrar essas pequenas resistências ao longo da distância entre as duas cascas.
Passo 3
Considerando uma camada esférica infinitesimal com raio
e espessura
, a resistência
dessa camada pode ser expressa como:
onde
é a área superficial da casca esférica no raio
. A área de uma esfera é
, então:
Passo 4
Para encontrar a resistência total
entre as duas cascas, precisamos somar todas essas pequenas resistências desde
até
. Isso é feito através de uma integral:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
A integral de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
A resistência elétrica entre as cascas esféricas é: