Considere um cilindro condutor de raio envolto por duas cascas cilíndricas condutoras de mesmo comprimento e raios e , onde . Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio é e que o espaço entre as cascas cilíndricas está preenchido por um material de constante dielétrica , mostre que: a) a ddp entre o condutor e a casca interna é ; b) a ddp entre as duas cascas é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de cilindros condutores concêntricos com raios relacionados por . A gente precisa calcular a diferença de potencial (ddp) entre o condutor central e a casca interna, e entre as duas cascas externas, sabendo que a ddp total entre o condutor central e a casca mais externa é . Além disso, o espaço entre as cascas está cheio de um material dielétrico com constante . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a relação entre campo elétrico e potencial em cilindros concêntricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações entre os raios dos cilindros. Sabemos que . Vamos resolver essas equações para encontrar e em termos de :
Então, os raios são:
  • Condutor central:
  • Casca interna:
  • Casca externa:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a diferença de potencial entre dois cilindros concêntricos pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
  • é a carga linear.
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a constante dielétrica do material entre os cilindros.
  • e são os raios dos cilindros externo e interno, respectivamente.
No nosso caso, há duas regiões dielétricas:
  1. Entre o condutor central ( ) e a casca interna ( ) com constante dielétrica (vácuo).
  2. Entre a casca interna ( ) e a casca externa ( ) com constante dielétrica .

Passo 4

Vamos considerar que a ddp total é a soma das diferenças de potencial nas duas regiões:
Onde:
  • é a ddp entre o condutor central e a casca interna.
  • é a ddp entre a casca interna e a casca externa.
Nosso objetivo é encontrar e em termos de .

Passo 5

Aplicando a fórmula do potencial para cada região:
Para (entre e ) com :
Para (entre e ) com :

Passo 6

Somando e para obter a ddp total :

Passo 7

Agora, queremos expressar e em termos de . Vamos rearranjar a equação de :
Portanto:

Resposta

a) A ddp entre o condutor central e a casca interna é ;
b) A ddp entre as duas cascas é .

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