Considere um cilindro condutor de raio a envolto por duas cascas cilíndricas condutoras de mesmo comprimento e raios b e c, onde c / 4=b / 2=a. Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio c é V e que o espaço entre as cascas cilíndricas está preenchido por um material de constante dielétrica k=2, mostre que: a) a ddp entre o condutor e a casca interna é 2 V / 3; b) a ddp entre as duas cascas é V / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de cilindros condutores concêntricos com raios relacionados por . A gente precisa calcular a diferença de potencial (ddp) entre o condutor central e a casca interna, e entre as duas cascas externas, sabendo que a ddp total entre o condutor central e a casca mais externa é . Além disso, o espaço entre as cascas está cheio de um material dielétrico com constante . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a relação entre campo elétrico e potencial em cilindros concêntricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações entre os raios dos cilindros. Sabemos que c4 = a Rightarrow c = 4a . Vamos resolver essas equações para encontrar b2 = a Rightarrow b = 2a e em termos de :
Então, os raios são:
  • Condutor central:
  • Casca interna:
  • Casca externa:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a diferença de potencial V = lambda2pi epsilon0 k ln(RexternoRinterno) entre dois cilindros concêntricos pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
  • é a carga linear.
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a constante dielétrica do material entre os cilindros.
  • e são os raios dos cilindros externo e interno, respectivamente.
No nosso caso, há duas regiões dielétricas:
  1. Entre o condutor central ( ) e a casca interna ( ) com constante dielétrica (vácuo).
  2. Entre a casca interna ( ) e a casca externa ( ) com constante dielétrica .

Passo 4

Vamos considerar que a ddp total V = V1 + V2 é a soma das diferenças de potencial nas duas regiões:
Onde:
  • é a ddp entre o condutor central e a casca interna.
  • é a ddp entre a casca interna e a casca externa.
Nosso objetivo é encontrar e em termos de .

Passo 5

Aplicando a fórmula do potencial para cada região:
Para V1 = lambda2pi epsilon0 ln(2aa) = lambda2pi epsilon0 ln(2) (entre V2 = lambda2pi epsilon0 cdot 2 ln(4a2a) = lambda4pi epsilon0 ln(2) e ) com :
Para (entre e ) com :

Passo 6

Somando V = V1 + V2 = lambda2pi epsilon0 ln(2) + lambda4pi epsilon0 ln(2) = 3lambda4pi epsilon0 ln(2) e para obter a ddp total :

Passo 7

Agora, queremos expressar 3lambda4pi epsilon0 ln(2) = V e lambda2pi epsilon0 ln(2) = 2V3 em termos de lambda4pi epsilon0 ln(2) = V3 . Vamos rearranjar a equação de V1 = 2V3 :
V2 = V3
Portanto:

Resposta

a) A ddp entre o condutor central e a casca interna é ;
b) A ddp entre as duas cascas é .

Exercícios relacionados