Considere um cilindro condutor de raio
envolto por duas cascas cilíndricas condutoras de mesmo comprimento e raios
e
, onde
. Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio
é
e que o espaço entre as cascas cilíndricas está preenchido por um material de constante dielétrica
, mostre que: a) a ddp entre o condutor e a casca interna é
; b) a ddp entre as duas cascas é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de cilindros condutores concêntricos com raios relacionados por
. A gente precisa calcular a diferença de potencial (ddp) entre o condutor central e a casca interna, e entre as duas cascas externas, sabendo que a ddp total entre o condutor central e a casca mais externa é
. Além disso, o espaço entre as cascas está cheio de um material dielétrico com constante
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a relação entre campo elétrico e potencial em cilindros concêntricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as relações entre os raios dos cilindros. Sabemos que
. Vamos resolver essas equações para encontrar
e
em termos de
:
Então, os raios são:
- Condutor central:
- Casca interna:
- Casca externa:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a diferença de potencial
entre dois cilindros concêntricos pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
-
é a carga linear. -
é a permissividade do vácuo. -
é a constante dielétrica do material entre os cilindros. -
e são os raios dos cilindros externo e interno, respectivamente.
No nosso caso, há duas regiões dielétricas:
- Entre o condutor central (
) e a casca interna ( ) com constante dielétrica (vácuo). - Entre a casca interna (
) e a casca externa ( ) com constante dielétrica .
Passo 4
Vamos considerar que a ddp total
é a soma das diferenças de potencial nas duas regiões:
Onde:
-
é a ddp entre o condutor central e a casca interna. -
é a ddp entre a casca interna e a casca externa.
Nosso objetivo é encontrar
e
em termos de
.
Passo 5
Aplicando a fórmula do potencial para cada região:
Para
(entre
e
) com
:
Para
(entre
e
) com
:
Passo 6
Somando
e
para obter a ddp total
:
Passo 7
Agora, queremos expressar
e
em termos de
. Vamos rearranjar a equação de
:
Portanto:
Resposta
a) A ddp entre o condutor central e a casca interna é
;
b) A ddp entre as duas cascas é .
b) A ddp entre as duas cascas é
Exercícios relacionados
Considere um sistema contendo duas cargas uma com
e outra com
localizadas em
.
(a) Calcule a força atuando sobre a carga .
(a) Calcule a força atuando sobre a carga
Considere um sistema contendo duas cargas pontuais, uma com
localizada em
e outracom
localizada em
.
© Desenhe aproximadamente as linhas de campo elétrico.
© Desenhe aproximadamente as linhas de campo elétrico.
O espaço entre duas cascas esféricas cocêntricas, condutoras, de raios
e
com
, está preenchido por um material com resistividade
. Mostre que a resistência elétrica entre as cascas é expressa por
Um capacitor de placas planas, paralelas, de área
e separadas por uma distância
, é construido com um dielétrico de constante variável expressa por
, onde a placa inferior está em
e a superior em
. Qual a capacitância deste capacitor? (Resp.
)