Considere uma esfera condutora de raio envolta por duas cascas esféricas condutoras de raios e , onde . Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio é e que o espaço entre as cascas esféricas está preenchido por um material de constante dielétrica , mostre que: a) a ddp entre esfera e a casca interna é ; b) a ddp entre as duas cascas é .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três esferas concêntricas:
Uma esfera condutora interna de raio .
Uma casca esférica intermediária de raio .
Uma casca esférica externa de raio .
Sabemos que a diferença de potencial (ddp) entre a esfera interna e a casca externa é . Além disso, o espaço entre as cascas está preenchido com um material dielétrico com constante dielétrica .
Nosso objetivo é encontrar:
a) A ddp entre a esfera interna e a casca intermediária.
b) A ddp entre as duas cascas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos em materiais dielétricos e como calcular potenciais em sistemas de esferas concêntricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do condutor é zero e toda a carga está na superfície. Como temos esferas concêntricas, podemos usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em cada região.
Vamos considerar que a esfera interna possui uma carga . A casca intermediária terá uma carga para que o campo dentro dela seja zero (condutor em equilíbrio). A casca externa terá uma carga para equilibrar a carga total do sistema.
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico nas diferentes regiões:
Entre e (esfera interna e casca intermediária):
O campo elétrico é devido à carga na esfera interna. Como há um dielétrico com constante , o campo elétrico nessa região é:
Onde é a distância do centro.
Entre e (casca intermediária e casca externa):
Aqui, o campo elétrico é devido à carga na casca externa. Não há dielétrico nessa região, então o campo elétrico é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre as esferas. O potencial entre duas superfícies concêntricas é a integral do campo elétrico ao longo do caminho radial entre elas.
a) Diferença de potencial entre a esfera interna () e a casca intermediária ():
b) Diferença de potencial entre a casca intermediária () e a casca externa ():
Passo 5
Sabemos que a ddp total entre a esfera interna e a casca externa é V = Va to b + Vb to c = Q16pivarepsilon0 a + Q8pivarepsilon0 a = Q16pivarepsilon0 a + 2Q16pivarepsilon0 a = 3Q16pivarepsilon0 a . Portanto:
Q = 16pivarepsilon0 a V3
Resolvendo para :
Passo 6
Agora, substituímos Va to b = Q16pivarepsilon0 a = 16pivarepsilon0 a V3 cdot 116pivarepsilon0 a = V3 nas expressões de Vb to c = Q8pivarepsilon0 a = 16pivarepsilon0 a V3 cdot 18pivarepsilon0 a = 2V3 e :
a) Diferença de potencial entre a esfera interna e a casca intermediária:
b) Diferença de potencial entre a casca intermediária e a casca externa:
Passo 7
Contudo, percebemos que precisamos considerar o efeito do dielétrico com constante Va to b = Q16pivarepsilon0 a cdot 1k = Q32pivarepsilon0 a = V3 cdot 2 = V6 na região entre Vb to c = 2V3 e V6 + 2V3 = V6 + 4V6 = 5V6 . Isso altera a relação entre carga e potencial nessa região, pois o dielétrico reduz o campo elétrico por esse fator.
Portanto, ajustando os cálculos considerando :
a) Correção para :
b) Diferença de potencial entre as cascas permanece:
Para que a soma das ddps seja :
Aparentemente há uma inconsistência, indicando que precisamos revisar os cálculos considerando o dielétrico corretamente.
Passo 8
Reavaliando, o dielétrico afeta o campo elétrico na região entre Va to b = integrala^2a Q4pivarepsilon0 k r^2 , dr = Q8pivarepsilon0 ( 1a - 12a ) = Q16pivarepsilon0 a = V5 cdot 4 = 4V5 e Vb to c = V - Va to b = V - 4V5 = V5 reduzindo-o por . Portanto, a ddp nessa região será maior para compensar a redução do campo.
Recalculando:
a) Diferença de potencial entre a esfera interna e a casca intermediária:
b) Diferença de potencial entre as cascas intermediária e externa: