Uma capitalização de juros é denominada Contínua quando é feita em intervalos de tempo bem pequenos, isto é, a medida que o tempot varia dentro de um intervalo considerado para a aplicação, os juros são capitalizados. Quando os juros são capitalizados continuamente, a taxa de crescimento é proporcional ao capital
investido, ou seja,
onde
é a taxa de juros e
é o capital investido. Supondo que
é o capital inicial aplicado, use a Transformada de Laplace para determine o capital
após um periodo de tempo
de capitalização.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre capitalização contínua de juros, que é quando os juros são aplicados num intervalo de tempo bem pequeno, praticamente de forma constante. A gente tem uma equação diferencial que relaciona a taxa de crescimento do capital
com a taxa de juros
:
A gente precisa usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação e encontrar
, sabendo que o capital inicial é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
A Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na nossa equação diferencial. Primeiro, transformamos cada termo:
Transformada de
:
Transformada de
:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 4
Substituindo na equação original:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo e encontrar
.
Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Resposta
O capital após um período de tempo
é dado por:
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quando
, ou mostre que o limite não existe.
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