Uma capitalização de juros é denominada Contínua quando é feita em intervalos de tempo bem pequenos, isto é, a medida que o tempot varia dentro de um intervalo considerado para a aplicação, os juros são capitalizados. Quando os juros são capitalizados continuamente, a taxa de crescimento é proporcional ao capital C investido, ou seja,
C'(t) = i C(t)
onde i é a taxa de juros e C é o capital investido. Supondo que C(0) = c0 é o capital inicial aplicado, use a Transformada de Laplace para determine o capital C(t) após um periodo de tempo t de capitalização.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre capitalização contínua de juros, que é quando os juros são aplicados num intervalo de tempo bem pequeno, praticamente de forma constante. A gente tem uma equação diferencial que relaciona a taxa de crescimento do capital com a taxa de juros :
A gente precisa usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação e encontrar , sabendo que o capital inicial é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
A Transformada de Laplace de uma função é dada por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na nossa equação diferencial. Primeiro, transformamos cada termo:
Transformada de :
Transformada de :
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo na equação original:
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo e encontrar .
Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:

Resposta

O capital após um período de tempo é dado por:

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