Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x) = x^2 / (a^2 - x^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função:
Além disso, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de série geométrica e manipulação algébrica.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Observe que:
Aqui, fatoramos a^2 do denominador para isolar a expressão que se assemelha à forma da série geométrica.

Passo 3

Agora, lembramos que a série geométrica é dada por:
No nosso caso, . Portanto, podemos substituir na série geométrica:

Passo 4

Voltando à nossa função f(x), substituímos a série geométrica encontrada:
Simplificando a expressão:
Podemos reindexar a soma para começar com n = 1:

Passo 5

Agora, determinamos o intervalo de convergência da série. A série geométrica converge quando:
Portanto, a série converge para todos os valores de x tais que .

Resposta

A representação em série de potências da função é:
O intervalo de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Uma capitalização de juros é denominada Contínua quando é feita em intervalos de tempo bem pequenos, isto é, a medida que o tempot varia dentro de um intervalo considerado para a aplicação, os juros são capitalizados. Quando os juros são capitalizados continuamente, a taxa de crescimento é proporcional ao capital C investido, ou seja,
C'(t) = i C(t)
onde i é a taxa de juros e C é o capital investido. Supondo que C(0) = c0 é o capital inicial aplicado, use a Transformada de Laplace para determine o capital C(t) após um periodo de tempo t de capitalização.
Calcule o limite de r quando t -> 0, ou mostre que o limite não existe.
Calcule as derivadas das funções vetoriais
r(t) = sen(2t) i + cos(t^2) j
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x) = (x + 2) / (2x^2 - x - 1)