Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x) = x^2 / (a^2 - x^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função:
Além disso, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de série geométrica e manipulação algébrica.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Observe que:
Aqui, fatoramos a^2 do denominador para isolar a expressão que se assemelha à forma da série geométrica.

Passo 3

Agora, lembramos que a série geométrica é dada por:
No nosso caso, . Portanto, podemos substituir na série geométrica:

Passo 4

Voltando à nossa função f(x), substituímos a série geométrica encontrada:
Simplificando a expressão:
Podemos reindexar a soma para começar com n = 1:

Passo 5

Agora, determinamos o intervalo de convergência da série. A série geométrica converge quando:
Portanto, a série converge para todos os valores de x tais que .

Resposta

A representação em série de potências da função é:
O intervalo de convergência dessa série é .

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