Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função:
Além disso, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de série geométrica e manipulação algébrica.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Observe que:
Aqui, fatoramos do denominador para isolar a expressão que se assemelha à forma da série geométrica.
Passo 3
Agora, lembramos que a série geométrica é dada por:
No nosso caso, . Portanto, podemos substituir na série geométrica:
Passo 4
Voltando à nossa função , substituímos a série geométrica encontrada:
Simplificando a expressão:
Podemos reindexar a soma para começar com :
Passo 5
Agora, determinamos o intervalo de convergência da série. A série geométrica converge quando:
Portanto, a série converge para todos os valores de x tais que .
Resposta
A representação em série de potências da função é: