Uma placa sólida porosa de agar com 10 mm de espessura e as outras dimensões muito maiores do que esta, contém uma concentração uniforme de ureia igual a . A placa é imersa em água ura muito agitada a 278 K , de modo a que a resistência superficial à transferência de massa possa ser desprezível. A difusividade da ureia em agar a 278 K é igual a . Supondo que a difusão ocorra apenas na direção perpendicular às faces de maior área, construa uma tabela com o perfil de concentrações na placa ao fim de 10 horas.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos uma placa de agar poroso com 10 mm de espessura onde a concentração de ureia é uniforme igual a . Essa placa é mergulhada em água bem agitada a 278 K. Queremos descobrir como essa concentração de ureia muda dentro da placa após 10 horas, assumindo que a difusão acontece só na direção perpendicular às faces maiores da placa.
Vamos precisar usar a Lei de Fick para difusão, que descreve como as partículas se movem de áreas de alta concentração para áreas de baixa concentração. Além disso, vamos considerar que a resistência na superfície é desprezível, o que simplifica nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a difusão de ureia na placa de agar pode ser descrita pela Equação de Difusão de Fick para uma dimensão:
Onde:
  • é a concentração de ureia,
  • é o tempo,
  • é o coeficiente de difusão,
  • é a posição dentro da placa.
Como a concentração inicial é uniforme, , e fora da placa a concentração é zero.

Passo 3

Vamos aplicar as condições de contorno. Já que a água ao redor está pura e bem agitada, a concentração na superfície da placa permanece zero para todo o tempo. Assim, temos:
Onde é a espessura da placa (0,01 m).
Para resolver essa equação, podemos usar a solução de série de Fourier para a difusão em uma placa finita:
Onde .

Passo 4

Vamos calcular os valores numéricos para cada posição na placa após 10 horas (36000 segundos). Dado que e .
Vamos considerar alguns termos da série para aproximar a solução. Por exemplo, até :
Calculando isso para diferentes valores de .

Passo 5

Agora, vamos construir a tabela com o perfil de concentrações na placa após 10 horas. Vamos escolher alguns pontos ao longo da espessura (por exemplo, , , , , ) e calcular para cada um.
\

Resposta

Posição (m) Concentração de Ureia (kmol/m³)
0,0000 0,0000
0,0025 0,0153
0,0050 0,0250
0,0075 0,0153
0,0100 0,0000

Exercícios relacionados

NÃO PRECISA FAZER PARA A PROVA
Uma caixa retangular aberta de base por de altura) pesa 34 toneladas e está mergulhada em água. (a) Qual a altura submersa? (b) Se a água tem de profundidade qual o peso de pedras que colocado na caixa causará o repouso da mesma no fundo?
Uma cápsula com uma determinada droga consiste em uma drágea esférica de de diâmetro contendo uma concentração inicial uniforme de de Dramin.
5a
Qual a concentração residual de Dramin no centro da drágea esférica após 48 horas?
5b
Considere agora que a capsula seja um cubo com de lado. Recalcule o item (a).
5c
Considere agora que a cápsula seja um cilindro de diâmetro e espessura de . Recalcule o item (a).
Dados: Dramin - espécie ; matriz de gel - espécie na temperatura de .
Tijolos de argila com (em peso) de umidade inicial estão sendo secados com ar, de maneira que toda a resistência à transferência de umidade esteja no interior do sólido (ar bem agitado). O ar a e UR tem uma umidade de equilíbrio, na argila, de em peso. A umidade média final do tijolo deve ser . A difusividade da água no tijolo é .
7a
Qual o tempo que leva, se o tijolo ficar de pé e tiver dimensões ? (unidimensional)
7b
Qual a massa de água evaporada nesse tempo? E se o tijolo ficar deitado sobre uma esteira, de maneira a não haver transferência de massa pela face repousando na esteira?
Na inspeção de uma amostra de carne destinada ao consumo humano, foi detectado a presença de certos organismos indesejáveis. Para tornar a carne segura para o consumo, solicita-se que ela seja mantida a uma temperatura mínima de , por um período mínimo de 20 min durante a preparação. Suponha que uma placa da carne, com 2,5 cm de espessura, esteja originalmente à temperatura de e deva ser aquecida em ambos os lados em um forno com temperatura constante, e que a temperatura máxima suportada pela carne seja . Além disso, suponha que o coeficiente de transferência de calor na superfície seja constante e de . Os dados a seguir podem ser pressupostos para amostra de carne: calor específico ; densidade ; condutividade térmica . Calcule a temperatura do forno e o tempo mínimo total de aquecimento para atender à norma de segurança.