Uma placa sólida porosa de agar com 10 mm de espessura e as outras dimensões muito maiores do que esta, contém uma concentração uniforme de ureia igual a
. A placa é imersa em água ura muito agitada a 278 K , de modo a que a resistência superficial à transferência de massa possa ser desprezível. A difusividade da ureia em agar a 278 K é igual a
. Supondo que a difusão ocorra apenas na direção perpendicular às faces de maior área, construa uma tabela com o perfil de concentrações na placa ao fim de 10 horas.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos uma placa de agar poroso com 10 mm de espessura onde a concentração de ureia é uniforme igual a
. Essa placa é mergulhada em água bem agitada a 278 K. Queremos descobrir como essa concentração de ureia muda dentro da placa após 10 horas, assumindo que a difusão acontece só na direção perpendicular às faces maiores da placa.
Vamos precisar usar a Lei de Fick para difusão, que descreve como as partículas se movem de áreas de alta concentração para áreas de baixa concentração. Além disso, vamos considerar que a resistência na superfície é desprezível, o que simplifica nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a difusão de ureia na placa de agar pode ser descrita pela Equação de Difusão de Fick para uma dimensão:
Onde:
-
é a concentração de ureia, -
é o tempo, -
é o coeficiente de difusão, -
é a posição dentro da placa.
Como a concentração inicial é uniforme,
, e fora da placa a concentração é zero.
Passo 3
Vamos aplicar as condições de contorno. Já que a água ao redor está pura e bem agitada, a concentração na superfície da placa permanece zero para todo o tempo. Assim, temos:
Onde
é a espessura da placa (0,01 m).
Para resolver essa equação, podemos usar a solução de série de Fourier para a difusão em uma placa finita:
Onde
.
Passo 4
Vamos calcular os valores numéricos para cada posição
na placa após 10 horas (36000 segundos). Dado que
e
.
Vamos considerar alguns termos da série para aproximar a solução. Por exemplo, até
:
Calculando isso para diferentes valores de
.
Passo 5
Agora, vamos construir a tabela com o perfil de concentrações na placa após 10 horas. Vamos escolher alguns pontos ao longo da espessura (por exemplo,
,
,
,
,
) e calcular
para cada um.
\
Resposta
Posição
|
Concentração de Ureia
|
---|---|
0,0000 | 0,0000 |
0,0025 | 0,0153 |
0,0050 | 0,0250 |
0,0075 | 0,0153 |
0,0100 | 0,0000 |