Uma placa sólida porosa de agar com 10 mm de espessura e as outras dimensões muito maiores do que esta, contém uma concentração uniforme de ureia igual a 0,1 kmol / m^3. A placa é imersa em água ura muito agitada a 278 K , de modo a que a resistência superficial à transferência de massa possa ser desprezível. A difusividade da ureia em agar a 278 K é igual a 4,72 times 10^-1 m^2 / s. Supondo que a difusão ocorra apenas na direção perpendicular às faces de maior área, construa uma tabela com o perfil de concentrações na placa ao fim de 10 horas.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos uma placa de agar poroso com 10 mm de espessura onde a concentração de ureia é uniforme igual a . Essa placa é mergulhada em água bem agitada a 278 K. Queremos descobrir como essa concentração de ureia muda dentro da placa após 10 horas, assumindo que a difusão acontece só na direção perpendicular às faces maiores da placa.
Vamos precisar usar a Lei de Fick para difusão, que descreve como as partículas se movem de áreas de alta concentração para áreas de baixa concentração. Além disso, vamos considerar que a resistência na superfície é desprezível, o que simplifica nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a difusão de ureia na placa de agar pode ser descrita pela Equação de Difusão de Fick para uma dimensão:
partial Cpartial t = D partial^2 Cpartial x^2
Onde:
  • é a concentração de ureia,
  • é o tempo,
  • é o coeficiente de difusão,
  • é a posição dentro da placa.
Como a concentração inicial é uniforme, , e fora da placa a concentração é zero.

Passo 3

Vamos aplicar as condições de contorno. Já que a água ao redor está pura e bem agitada, a concentração na superfície da placa permanece zero para todo o tempo. Assim, temos:
C(0, t) = C(L, t) = 0
Onde C(x, t) = 4 C0pi sumn=0^infty 12n+1 cos((2n+1)pi x2L) exp(-D ((2n+1)pi2L)^2 t) é a espessura da placa (0,01 m).
Para resolver essa equação, podemos usar a solução de série de Fourier para a difusão em uma placa finita:
Onde .

Passo 4

Vamos calcular os valores numéricos para cada posição C(x, t) approx 4 times 0,1pi [ 11 cos(pi x2 times 0,01) e^-D (pi2 times 0,01)^2 t + 13 cos(3pi x2 times 0,01) e^-D (3pi2 times 0,01)^2 t + 15 cos(5pi x2 times 0,01) e^-D (5pi2 times 0,01)^2 t ] na placa após 10 horas (36000 segundos). Dado que e .
Vamos considerar alguns termos da série para aproximar a solução. Por exemplo, até :
Calculando isso para diferentes valores de .

Passo 5

Agora, vamos construir a tabela com o perfil de concentrações na placa após 10 horas. Vamos escolher alguns pontos ao longo da espessura (por exemplo, , , , , ) e calcular para cada um.
\

Resposta

Posição (m) Concentração de Ureia (kmol/m³)
0,0000 0,0000
0,0025 0,0153
0,0050 0,0250
0,0075 0,0153
0,0100 0,0000

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