Dê uma caracterização geométrica dos operadores lineares auto-adjuntos do plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever de forma geométrica os operadores lineares auto-adjuntos no plano. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente tratando de operadores lineares e suas propriedades. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são operadores auto-adjuntos e como eles se comportam geometricamente no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear auto-adjunto. Em termos simples, um operador linear
é auto-adjunto se ele é igual ao seu adjunto, ou seja,
. No caso de matrizes, isso significa que a matriz que representa
é igual à sua transposta conjugada. No plano, trabalhando com números reais, isso simplifica para matrizes simétricas, onde
.
Passo 3
Agora que sabemos que estamos lidando com matrizes simétricas, vamos pensar na representação geométrica delas. Matrizes simétricas no plano têm a propriedade de terem dois autovalores reais e autovetores ortogonais. Isso significa que a transformação associada a uma matriz simétrica alonga ou comprime o espaço ao longo de duas direções perpendiculares.
Passo 4
Para visualizar isso, imagine que você tem duas linhas que se cortam formando um ângulo de 90 graus. Essas linhas são os autovetores do operador. Quando aplicamos o operador a qualquer vetor no plano, a componentização desse vetor em relação a essas direções perpendiculares será simplesmente escalada pelos autovalores correspondentes. Ou seja, ao longo de uma dessas direções, o vetor é esticado ou comprimido por um fator, e o mesmo ocorre na direção ortogonal.
Passo 5
Então, geometricamente, um operador linear auto-adjunto no plano atua como uma transformação que estica ou comprime o espaço ao longo de duas direções perpendiculares. Essas direções são definidas pelos autovetores, e os fatores de esticamento ou compressão são dados pelos autovalores. Essa característica faz com que operadores auto-adjuntos sejam particularmente “bem comportados” geometricamente, já que preservam a ortogonalidade e alinham-se com eixos principais.
Resposta
Geometricamente, os operadores lineares auto-adjuntos no plano são aqueles que esticam ou comprimem o espaço ao longo de duas direções perpendiculares. Essas direções correspondem aos autovetores do operador, e os fatores de esticamento ou compressão são os seus respectivos autovalores.
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de
para a qual
é uma matriz diagonal, então
é auto-adjunto.
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. Qual é a altura das torres em relaçâo ao ponto mais baixo da ponte (no eixo I)?
a) 40 metros
b) 50 metros
c) 60 metros
d) 70 metros
e) Nenhuma das anteriores
a) 40 metros
b) 50 metros
c) 60 metros
d) 70 metros
e) Nenhuma das anteriores