Uma ponte suspensa tem a forma de uma hipérbole cujas torres estão posicionadaş a uma distâncía de 100 metros uma da outra. A equação da hipérbole que descreve o formato da ponte é
. Qual é a altura das torres em relaçâo ao ponto mais baixo da ponte (no eixo I)?
a) 40 metros
b) 50 metros
c) 60 metros
d) 70 metros
e) Nenhuma das anteriores
a) 40 metros
b) 50 metros
c) 60 metros
d) 70 metros
e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre hipérboles aplicadas a uma ponte suspensa. A gente tem que encontrar a altura das torres em relação ao ponto mais baixo da ponte usando a equação da hipérbole fornecida. Para isso, vamos precisar entender os elementos básicos de uma hipérbole e como eles se aplicam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral da hipérbole que abre horizontalmente é dada por:
Nessa equação,
representa a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo
, e
está relacionado à distância nas direções do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a equação da hipérbole dada na questão com a equação geral:
Aqui, vemos que
e
. Portanto:
Passo 4
Sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são dadas por:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso significa que as assíntotas têm inclinação de 1,2.
Passo 5
As torres da ponte estão posicionadas a 100 metros uma da outra, ou seja, cada torre está a 50 metros do centro (já que
). Para encontrar a altura das torres em relação ao ponto mais baixo da ponte, observamos que as assíntotas nos dão a direção máxima que as linhas da hipérbole seguem. No ponto onde
, a altura máxima
das assíntotas será:
Passo 6
Portanto, a altura das torres em relação ao ponto mais baixo da ponte é de 60 metros.
Resposta
c) 60 metros
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Dados
:
Determinar
Determinar
Identifique as seguintes superfícies de segundo grau: