Mostre que se existe uma base ortonormal de para a qual é uma matriz diagonal, então é auto-adjunto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um espaço vetorial e uma transformação linear definida sobre ele. O enunciado afirma que existe uma base ortonormal para tal que a matriz de nessa base, denotada por , é uma matriz diagonal. Nosso objetivo é mostrar que, sob essa condição, é auto-adjunto (ou seja, ).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
Base Ortonormal: Uma base onde os vetores são todos unitários e ortogonais entre si.
Matriz Diagonal: Uma matriz onde apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.
Transformação Auto-Adjunta: Uma transformação linear que é igual ao seu adjunto, ou seja, .
Passo 2
Vamos lembrar que, em uma base ortonormal, a matriz adjunta de , que denotamos por , é simplesmente a matriz transposta conjugada de . Como nossa base é ortonormal, essa relação se aplica diretamente.
Então, se é uma matriz diagonal, a sua matriz adjunta também será uma matriz diagonal, onde cada elemento na diagonal será o conjugado complexo do elemento correspondente em .
Passo 3
Para que seja auto-adjunto, precisamos que . Já que é a matriz diagonal com os elementos da diagonal principal sendo os conjugados complexos dos elementos de , isso implica que cada elemento na diagonal principal de deve ser igual ao seu próprio conjugado.
Matematicamente, isso significa que se tem elementos na diagonal, então para todo . Ou seja, cada deve ser real.
Passo 4
Se todos os elementos da diagonal de são reais, então é igual à sua própria matriz adjunta . Consequentemente, , o que significa que é auto-adjunto.
Resposta
Portanto, se existe uma base ortonormal de para a qual é uma matriz diagonal com elementos reais na diagonal, então a transformação linear é auto-adjunto.