Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo , e , que é uma superfície de segundo grau. Essas superfícies são como formas no espaço, tipo esferas, elipsoides, hiperboloides, entre outras. Para identificar qual exatamente estamos lidando, vamos precisar mexer com álgebra linear e algumas transformações. Preparado? Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais organizada:
Observamos que temos termos quadráticos (, , ) e termos de interação (, ). Esses termos de interação indicam que a superfície está inclinada no espaço; para facilitar, vamos “desentornar” isso usando uma matriz.
Passo 3
Vamos representar a equação na forma matricial:
onde e A = 9 & -3 & 0 -3 & 12 & -3 0 & -3 & 9 é a matriz simétrica dos coeficientes:
Dividimos os coeficientes dos termos cruzados por 2 para manter a simetria.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz lambda1 = 6, lambda2 = 12, lambda3 = 12 . Isso vai nos ajudar a diagonalizar a matriz, ou seja, transformar a equação original em uma forma mais simples, sem termos de interação.
Calculando os autovalores de , obtemos:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, podemos transformar a equação original para uma forma canônica. Isso significa que a equação vai ficar sem os termos de interação, facilitando a identificação da superfície.
A forma canônica fica:
6u^2 + 12v^2 + 12w^2 = 1
onde , , e são as novas coordenadas após a rotação.
Passo 6
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 1:
u^216 + v^2112 + w^2112 = 1
Isso nos mostra que cada termo está dividido por um valor positivo, indicando que estamos lidando com um elipsoide.