O cardume de tainha da Lagoa dos Patos foi modelado pela equação diferencial
onde
é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no instante
(medido em anos), a capacidade de suporte é estimada como
e
por ano.
(a) Se
, calcule a biomassa um ano depois.
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento da biomassa de um cardume de tainha na Lagoa dos Patos, modelado por uma equação diferencial logística. Isso é parte de equações diferenciais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da solução dessa equação e aplicar os valores dados: a capacidade de suporte
kg, a constante
por ano, e a biomassa inicial
kg.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a solução geral da equação diferencial logística:
Aqui:
-
é a biomassa no tempo , -
é a capacidade de suporte, -
é a biomassa inicial, -
é a constante de crescimento.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
-
kg, -
kg, -
por ano, - e queremos encontrar
, ou seja, a biomassa após 1 ano.
Então, substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar dentro da fração:
- Calculamos
. - Então,
. - Agora, calculamos o exponencial:
.
Usando uma calculadora,
.
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, fazemos a divisão:
Resposta
A biomassa um ano depois será aproximadamente
kg.
Exercícios relacionados
Calcule os cubos.
Use
e
para calcular
em quilômetros por segundo.
(ESPM-SP)
valor da expressão
, para
, é:
a) -100
b) -10
c)
d) -101
e) -1.000
a) -100
b) -10
c)
d) -101
e) -1.000
Calcule os quadrados.