O cardume de tainha da Lagoa dos Patos foi modelado pela equação diferencial
d y/d t = k y(1 - y/M)
onde y(t) é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no instante t (medido em anos), a capacidade de suporte é estimada como M = 8 x 10^7 kg e k = 0,71 por ano.
(a) Se y(0) = 2 * 10^7 kg, calcule a biomassa um ano depois.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento da biomassa de um cardume de tainha na Lagoa dos Patos, modelado por uma equação diferencial logística. Isso é parte de equações diferenciais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da solução dessa equação e aplicar os valores dados: a capacidade de suporte kg, a constante por ano, e a biomassa inicial kg.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a solução geral da equação diferencial logística:
Aqui:
  • é a biomassa no tempo ,
  • é a capacidade de suporte,
  • é a biomassa inicial,
  • é a constante de crescimento.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
  • kg,
  • kg,
  • por ano,
  • e queremos encontrar , ou seja, a biomassa após 1 ano.
Então, substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar dentro da fração:
  1. Calculamos .
  2. Então, .
  3. Agora, calculamos o exponencial: .
Usando uma calculadora, .
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, fazemos a divisão:

Resposta

A biomassa um ano depois será aproximadamente kg.

Exercícios relacionados

Calcule os cubos.
(x+2)^3
Use R = 6370 km e g = 9,8 m/s^2 para calcular ve em quilômetros por segundo.
(ESPM-SP) O valor da expressão (1 - x^8) / ((1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4)), para x = 101, é:
a) -100
b) -10
c) -10,1
d) -101
e) -1.000
Calcule os quadrados.
(a^3 * b + a * b^3)^2