Uma carga de está no centro de um cubo cuja aresta tem . (a) Encontre o fluxo através de cada uma das faces do cubo. (b) Encontre o fluxo através de toda a superfície do cubo. © Suas respostas aos ítens (a) ou (b) mudariam se a carga não estivesse no centro? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! O problema envolve encontrar o fluxo elétrico através das faces de um cubo e da sua superfície inteira quando uma carga está no centro. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo elétrico e a Lei de Gauss. Vamos precisar entender como essas ideias funcionam e aplicar algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. Fluxo elétrico ( ) é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada área. Matematicamente, é dado por:
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é a área,
  • é o ângulo entre o campo elétrico e a normal à superfície.
Mas, para facilitar, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada com a carga interna:
Onde:
  • é a carga dentro da superfície,
  • é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 3

Item (a): Encontrar o fluxo através de cada uma das faces do cubo.
Como a carga está no centro do cubo, o sistema é simétrico. Isso significa que o fluxo elétrico se distribui igualmente por todas as faces do cubo. Sabendo que um cubo tem 6 faces, podemos dividir o fluxo total igualmente.
Primeiro, calculamos o fluxo total usando a Lei de Gauss:
Substituindo :
Agora, dividimos esse fluxo igualmente pelas 6 faces:

Passo 4

Item (b): Encontrar o fluxo através de toda a superfície do cubo.
Já calculamos isso na etapa anterior usando a Lei de Gauss:
Então, o fluxo total através da superfície do cubo é aproximadamente .

Passo 5

Item ©: As respostas aos itens (a) ou (b) mudariam se a carga não estivesse no centro? Vamos analisar.
Se a carga não estiver no centro, a simetria do sistema é quebrada. No item (a), o fluxo através de cada face não será mais igual, já que mais linhas de campo vão passar por algumas faces do que por outras. Portanto, o fluxo por face varia.
No entanto, no item (b), que é o fluxo total através da superfície do cubo, a resposta não muda. Isso ocorre porque a Lei de Gauss depende apenas da carga total dentro da superfície fechada, independentemente de sua posição. Então, mesmo que a carga não esteja no centro, o fluxo total permanece o mesmo.

Resposta

(a) O fluxo através de cada face do cubo é aproximadamente .
(b) O fluxo através de toda a superfície do cubo é aproximadamente .
© Se a carga não estivesse no centro, o fluxo através de cada face mudaria, pois não haveria mais simetria. Contudo, o fluxo total através da superfície do cubo permaneceria o mesmo.

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