A carga P aplicada a uma barra de aço é transmitida para um suporte de madeira por intermédio de uma arruela, de diâmetro interno de 25 mm , e de diâmetro externo d. Sabendo-se que a tensão normal axial na barra de aço é de 35 MPa e que a tensão média de esmagamento entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder a 5 MPa , calcule o diâmetro externo d necessário para a arruela.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma barra de aço onde uma carga está sendo aplicada. Essa carga é transmitida para um suporte de madeira através de uma arruela. Sabemos que a tensão normal axial na barra de aço é de 35 MPa e que a tensão média de esmagamento entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder 5 MPa. Nosso objetivo é calcular o diâmetro externo necessário para a arruela.
Conteúdo da matéria: Este problema envolve conceitos de resistência dos materiais, especificamente o cálculo de tensões e a relação entre carga, área e tensão.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da tensão:
  • Fórmula da área de um anel (arruela): , onde é o diâmetro interno.

Passo 2

Vamos começar calculando a carga sigma = PA aplicada na barra de aço usando a fórmula da tensão:
P = sigma times A
Rearranjando para encontrar :
A tensão é 35 MPa e a área da seção transversal da barra de aço pode ser calculada se conhecermos o diâmetro ou raio da barra, mas como não precisamos do valor exato de para encontrar , vamos considerar que a carga é a mesma que será transmitida para a arruela.

Passo 3

Agora, queremos garantir que a tensão média de esmagamento na arruela não exceda 5 MPa. Usamos novamente a fórmula da tensão:
sigma = PA
Dessa vez, queremos encontrar a área A = Psigma = P5, MPa necessária para a arruela que suporte a carga sem exceder a tensão de 5 MPa:

Passo 4

Vamos expressar a área A = pi ( ( d2 )^2 - ( di2 )^2 ) = pi ( d^2 - di^24 ) da arruela em termos do diâmetro externo . A arruela tem um diâmetro interno mm, então a área do anel é:

Passo 5

Igualamos as duas expressões para pi ( d^2 - di^24 ) = P5, MPa :
pi ( d^2 - di^24 ) = sigma times Abarra5, MPa
Como pi ( d^2 - di^24 ) = 35, MPa5, MPa times Aarruela é a mesma carga transmitida, podemos substituir pi ( d^2 - di^24 ) = 7 times Aarruela da primeira equação:
d^2 = di^2 + 4Ppi times 5, MPa
Mas, para simplificar, já que estamos interessados em relação direta entre as tensões e as áreas, podemos reescrever diretamente para encontrar :
Simplificando:
Mas para focar no cálculo direto, podemos isolar :

Passo 6

Assumindo que a área da barra de aço é igual à área da arruela, e substituindo d^2 = 25^2 + 4Ppi times 5 mm:
d = raiz25^2 + 4 times 35pi times 5
Como é cancelado nas equações, podemos resolver diretamente para :

Passo 7

Calculando os valores:
d = raiz625 + 140pi
d approx raiz625 + 44.58 approx raiz669.58 approx 25.88, mm

Resposta

O diâmetro externo necessário para a arruela é aproximadamente 25,88 mm.

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