Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R. Determine o módulo do campo elétrico no interior do cilindro a uma distância T do eixo do cilindro (2,0 pontos) (Expresse sua resposta em funçāo da densidade volumétrica de carga rho )

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro infinitamente longo com uma carga distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume. A gente precisa encontrar o módulo do campo elétrico dentro desse cilindro, a uma distância do eixo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade volumétrica de carga ( ). Ela representa a quantidade de carga por unidade de volume. Como a carga está distribuída uniformemente, é constante dentro do cilindro.

Passo 3

Agora, para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como o problema tem simetria cilíndrica, nossa superfície gaussiana vai ser um cilindro concêntrico com o cilindro carregado, com raio e comprimento .

Passo 4

A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui, é a carga dentro da nossa superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Vamos calcular Qinterno = rho times Volume do cilindro gaussiano = rho times pi T^2 L . Como a carga está distribuída uniformemente:

Passo 6

Agora, vamos calcular o lado esquerdo da equação da Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E times 2pi T L
Aqui, é o campo elétrico que queremos achar, e é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 7

Igualando os dois lados da Lei de Gauss:
E times 2pi T L = rho pi T^2 Lvarepsilon0

Passo 8

Agora, vamos resolver para E = rho T2 varepsilon0 :

Resposta

O módulo do campo elétrico no interior do cilindro a uma distância E = rho T2 varepsilon0 do eixo é:

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