Determine a frequência angular de oscilação de um dipolo elétrico com momento de dipolo elétrico e inércia de rotação para pequenas amplitudes de oscilação em torno da sua posição de equiliorio em um campo elétrico uniforme ( 2,0 pontos) (Dica: para pequenas amplitudes de oscilação considere pontos

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um dipolo elétrico com momento de dipolo e inércia de rotação que está oscilando em torno da posição de equilíbrio dentro de um campo elétrico uniforme . O público-alvo aqui são oscilações de pequenas amplitudes, então podemos simplificar usando . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de torque, energia potencial e movimento harmônico simples aplicado à rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque ( ) que atua em um dipolo elétrico dentro de um campo elétrico é dado por:
Como estamos lidando com pequenas oscilações, o ângulo que o dipolo forma com o campo elétrico é pequeno, então podemos aproximar . Assim, o torque pode ser simplificado para:

Passo 3

Agora, vamos relacionar esse torque com a inércia de rotação do dipolo. A segunda lei de Newton para movimento de rotação diz que:
onde é a aceleração angular, que também pode ser escrita como a segunda derivada de em relação ao tempo ( ). Substituindo o torque que encontramos:

Passo 4

Essa equação se parece muito com a equação do movimento harmônico simples, que é do tipo:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar que:
Portanto, a frequência angular é a raiz quadrada dessa expressão.

Resposta

A frequência angular das oscilações é:

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