Determine a frequência angular de oscilação de um dipolo elétrico com momento de dipolo elétrico
e inércia de rotação
para pequenas amplitudes de oscilação em torno da sua posição de equiliorio em um campo elétrico uniforme
( 2,0 pontos) (Dica: para pequenas amplitudes de oscilação considere
pontos
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um dipolo elétrico com momento de dipolo
e inércia de rotação
que está oscilando em torno da posição de equilíbrio dentro de um campo elétrico uniforme
. O público-alvo aqui são oscilações de pequenas amplitudes, então podemos simplificar usando
. Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de torque, energia potencial e movimento harmônico simples aplicado à rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o torque (
) que atua em um dipolo elétrico dentro de um campo elétrico é dado por:
Como estamos lidando com pequenas oscilações, o ângulo
que o dipolo forma com o campo elétrico é pequeno, então podemos aproximar
. Assim, o torque pode ser simplificado para:
Passo 3
Agora, vamos relacionar esse torque com a inércia de rotação
do dipolo. A segunda lei de Newton para movimento de rotação diz que:
onde
é a aceleração angular, que também pode ser escrita como a segunda derivada de
em relação ao tempo (
). Substituindo o torque que encontramos:
Passo 4
Essa equação se parece muito com a equação do movimento harmônico simples, que é do tipo:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar que:
Portanto, a frequência angular
é a raiz quadrada dessa expressão.
Resposta
A frequência angular das oscilações é: