Determine a frequência angular de oscilação de um dipolo elétrico com momento de dipolo elétrico p e inércia de rotação I para pequenas amplitudes de oscilação em torno da sua posição de equiliorio em um campo elétrico uniforme E ( 2,0 pontos) (Dica: para pequenas amplitudes de oscilação considere sen theta approx theta) ?(2,0 pontos )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um dipolo elétrico com momento de dipolo p e inércia de rotação I que está oscilando em torno da posição de equilíbrio dentro de um campo elétrico uniforme E. O público-alvo aqui são oscilações de pequenas amplitudes, então podemos simplificar usando sin theta approx theta. Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de torque, energia potencial e movimento harmônico simples aplicado à rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque ( tau) que atua em um dipolo elétrico dentro de um campo elétrico é dado por:
tau = p times E
Como estamos lidando com pequenas oscilações, o ângulo theta que o dipolo forma com o campo elétrico é pequeno, então podemos aproximar sin theta approx theta. Assim, o torque pode ser simplificado para:
tau approx pE theta

Passo 3

Agora, vamos relacionar esse torque com a inércia de rotação I do dipolo. A segunda lei de Newton para movimento de rotação diz que:
tau = I alpha
onde alpha é a aceleração angular, que também pode ser escrita como a segunda derivada de theta em relação ao tempo ( ddottheta). Substituindo o torque que encontramos:
pE theta = I ddottheta

Passo 4

Essa equação se parece muito com a equação do movimento harmônico simples, que é do tipo:
m x = m ddotx Rightarrow ddotx + omega^2 x = 0
Comparando com a nossa equação:
I ddottheta + pE theta = 0
Podemos identificar que:
omega^2 = pEI
Portanto, a frequência angular omega é a raiz quadrada dessa expressão.

Resposta

A frequência angular das oscilações é:
omega = raizpEI

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