(M) Uma esfera condutora de raio
possui inicialmente uma carga total
e encontra-se muito afastada de uma segunda esfera condutora neutra de raio
. A seguir, conecta-se as duas esferas por meio de um fio condutor fino, mantendo a separação entre elas. Após reestabelecido o equilíbrio eletrostático e desprezando qualquer acúmulo de carga no fio, determine:
(a) A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera.
(a) A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos duas esferas condutoras, uma com carga inicial
e raio
, e outra neutra com raio
, muito afastadas. Quando conectamos as duas por um fio condutor, as cargas vão se redistribuir até o equilíbrio eletrostático. Precisamos encontrar a razão entre os campos elétricos na superfície de cada esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como a distribuição de carga em condutores e a relação entre carga, campo elétrico e raio.
Passo 2
Primeiro, quando conectamos as duas esferas por um fio condutor, as cargas se distribuem de forma a igualar o potencial elétrico em ambas as esferas. O potencial
de uma esfera condutora é dado por:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga e
é o raio da esfera.
Passo 3
Como os potenciais são iguais após a conexão, temos:
Aqui,
e
são as cargas nas esferas de raio
e
, respectivamente.
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Isso implica que:
Passo 5
Sabemos que a carga total é conservada. Inicialmente, a carga total é
, então:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 6
Fatorando
:
Passo 7
Agora, encontramos
usando a relação
:
Passo 8
O campo elétrico na superfície de uma esfera condutora é dado por:
Portanto, os campos nas esferas de raio
e
são:
Passo 9
Substituindo
e
:
Passo 10
Agora, a razão entre os campos elétricos é:
Resposta
A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera é
.
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