(M) Uma esfera condutora de raio a possui inicialmente uma carga total Q e encontra-se muito afastada de uma segunda esfera condutora neutra de raio b. A seguir, conecta-se as duas esferas por meio de um fio condutor fino, mantendo a separação entre elas. Após reestabelecido o equilíbrio eletrostático e desprezando qualquer acúmulo de carga no fio, determine:
(a) A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos duas esferas condutoras, uma com carga inicial Q e raio a, e outra neutra com raio b, muito afastadas. Quando conectamos as duas por um fio condutor, as cargas vão se redistribuir até o equilíbrio eletrostático. Precisamos encontrar a razão entre os campos elétricos na superfície de cada esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como a distribuição de carga em condutores e a relação entre carga, campo elétrico e raio.

Passo 2

Primeiro, quando conectamos as duas esferas por um fio condutor, as cargas se distribuem de forma a igualar o potencial elétrico em ambas as esferas. O potencial V de uma esfera condutora é dado por:
V = kQR
onde k é a constante eletrostática, Q é a carga e R é o raio da esfera.

Passo 3

Como os potenciais são iguais após a conexão, temos:
kQaa = kQbb
Aqui, Qa e Qb são as cargas nas esferas de raio a e b, respectivamente.

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por k:
Qaa = Qbb
Isso implica que:
Qa = ab Qb

Passo 5

Sabemos que a carga total é conservada. Inicialmente, a carga total é Q, então:
Qa + Qb = Q
Substituindo Qa da etapa anterior:
ab Qb + Qb = Q

Passo 6

Fatorando Qb:
Qb ( ab + 1 ) = Q
Qb = Qab + 1 = Q ba + b

Passo 7

Agora, encontramos Qa usando a relação Qa = ab Qb:
Qa = ab cdot Q ba + b = a Qa + b

Passo 8

O campo elétrico na superfície de uma esfera condutora é dado por:
E = kQR^2
Portanto, os campos nas esferas de raio a e b são:
Ea = k Qaa^2 e Eb = k Qbb^2

Passo 9

Substituindo Qa e Qb:
Ea = k cdot a Qa + ba^2 = k Qa (a + b)
Eb = k cdot Q ba + bb^2 = k Qb (a + b)

Passo 10

Agora, a razão entre os campos elétricos é:
EaEb = k Qa (a + b)k Qb (a + b) = ba

Resposta

A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera é EaEb = ba.

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