(M) Uma esfera condutora de raio possui inicialmente uma carga total e encontra-se muito afastada de uma segunda esfera condutora neutra de raio . A seguir, conecta-se as duas esferas por meio de um fio condutor fino, mantendo a separação entre elas. Após reestabelecido o equilíbrio eletrostático e desprezando qualquer acúmulo de carga no fio, determine:
(a) A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos duas esferas condutoras, uma com carga inicial e raio , e outra neutra com raio , muito afastadas. Quando conectamos as duas por um fio condutor, as cargas vão se redistribuir até o equilíbrio eletrostático. Precisamos encontrar a razão entre os campos elétricos na superfície de cada esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como a distribuição de carga em condutores e a relação entre carga, campo elétrico e raio.

Passo 2

Primeiro, quando conectamos as duas esferas por um fio condutor, as cargas se distribuem de forma a igualar o potencial elétrico em ambas as esferas. O potencial de uma esfera condutora é dado por:
onde é a constante eletrostática, é a carga e é o raio da esfera.

Passo 3

Como os potenciais são iguais após a conexão, temos:
Aqui, e são as cargas nas esferas de raio e , respectivamente.

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Isso implica que:

Passo 5

Sabemos que a carga total é conservada. Inicialmente, a carga total é , então:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 6

Fatorando :

Passo 7

Agora, encontramos usando a relação :

Passo 8

O campo elétrico na superfície de uma esfera condutora é dado por:
Portanto, os campos nas esferas de raio e são:

Passo 9

Substituindo e :

Passo 10

Agora, a razão entre os campos elétricos é:

Resposta

A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera é .

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