Uma carga Q é dividida em duas partes q e Q-q, que são, a seguir, afastadas por uma certa distância entre si. Qual deve ser o valor de q em termos de Q, de modo que a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja máxima?
  • A magnitude da repulsão entre q e Q-q é
F=14 pi epsilon0 (Q-q) qr^2
A condição para que F seja máxima em relação a q é que sejam satisfeitas simultaneamente as equações
partial Fpartial q=0, e partial^2 Fpartial q^2<0
A primeira condição produz
partial Fpartial q=14 pi epsilon0 1r^2 partialpartial qQ q-q^2=Q-2 q4 pi epsilon0 r^2=0
cuja solução é q=Q / 2. Como a segunda derivada é sempre menor que zero, a solução encontrada, q=Q / 2, produzirá a força máxima.
circ<=dast Observe que a resposta do problema é q=Q / 2 e não Q=2 q.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma carga elétrica total que é dividida em duas partes: e . Essas duas cargas vão se afastar uma da outra, e queremos descobrir qual o valor de que faz com que a força de repulsão eletrostática entre elas seja máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb, e técnicas de cálculo para otimizar a força.

Passo 2

A força de repulsão eletrostática entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = 14 pi epsilon0 q1 q2r^2
onde F = 14 pi epsilon0 q(Q - q)r^2 e são as cargas, é a distância entre elas, e é a constante de permissividade do vácuo.
No nosso caso, as cargas são e , então a força fica:

Passo 3

Para encontrar o valor de partial Fpartial q = 14 pi epsilon0 r^2 (Q - 2q) que maximiza essa força, precisamos derivar a expressão de em relação a e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto onde a força é máxima ou mínima.
Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Igualamos a derivada a zero para encontrar o valor crítico:
14 pi epsilon0 r^2 (Q - 2q) = 0
Simplificando, temos:
Q - 2q = 0
2q = Q
q = Q2

Passo 5

Para garantir que esse ponto é um máximo, verificamos a segunda derivada da força em relação a partial^2 Fpartial q^2 = -24 pi epsilon0 r^2 < 0 :
Como a segunda derivada é negativa, confirma que realmente corresponde a um ponto de máximo para a força.

Resposta

O valor de q = Q2 que maximiza a repulsão eletrostática é:

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