Uma carga é dividida em duas partes e , que são, a seguir, afastadas por uma certa distância entre si. Qual deve ser o valor de em termos de , de modo que a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja máxima?
  • A magnitude da repulsão entre e é
A condição para que seja máxima em relação a é que sejam satisfeitas simultaneamente as equações
A primeira condição produz
cuja solução é . Como a segunda derivada é sempre menor que zero, a solução encontrada, , produzirá a força máxima.
Observe que a resposta do problema é e não .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma carga elétrica total que é dividida em duas partes: e . Essas duas cargas vão se afastar uma da outra, e queremos descobrir qual o valor de que faz com que a força de repulsão eletrostática entre elas seja máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb, e técnicas de cálculo para otimizar a força.

Passo 2

A força de repulsão eletrostática entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde e são as cargas, é a distância entre elas, e é a constante de permissividade do vácuo.
No nosso caso, as cargas são e , então a força fica:

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza essa força, precisamos derivar a expressão de em relação a e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto onde a força é máxima ou mínima.
Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Igualamos a derivada a zero para encontrar o valor crítico:
Simplificando, temos:

Passo 5

Para garantir que esse ponto é um máximo, verificamos a segunda derivada da força em relação a :
Como a segunda derivada é negativa, confirma que realmente corresponde a um ponto de máximo para a força.

Resposta

O valor de que maximiza a repulsão eletrostática é:

Exercícios relacionados

E 23-24
Qual é a carga total em Coulombs de 75 kg de elétrons?
  • A massa do elétron é de maneira que a quantidade de elétrons em é
é
Portanto, a carga total é
Duas esferas condutoras idênticas, mantidas fixas, atraem-se com uma força eletrostática de módulo igual a 0.108 N quando separadas por uma distância de 50.0 cm . As esferas são então ligadas por um fio condutor fino. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força eletrostática de módulo igual a 0.036 N . Quais eram as cargas iniciais das esferas?
  • Sejam e as cargas originais que desejamos calcular, separadas duma distância . Escolhamos um sistema de coordenadas de modo que a força sobre é positiva se ela for repelida por . Neste caso a magnitude da força
onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem. Em outras palavras, o sinal negativo indica que o produto é negativo, pois a força , , é força de atração. Como as esferas são idênticas, após o fio haver sido conectado ambas terão uma mesma carga sobre elas, de valor . Neste caso a força de repulsão
Das duas expressões acima tiramos a soma e o produto de e , ou seja
e
Conhecendo-se a soma e o produto de dois números, conhecemos na verdade os coeficientes da equação do segundo grau que define estes números, ou seja,
Dito de outra forma, se substituirmos
na equação da soma acima temos duas possibilidades:
ou
Considerando-se a Eq. , temos
de onde tiramos as duas soluções
O sinal + fornece-nos
enquanto que o sinal - fornece-nos
onde usamos a Eq. (*) acima para calcular a partir de . Repetindo-se a análise a partir da Eq. percebemos que existe outro par de soluções possível, uma vez que revertendo-se os sinais das cargas, as forças permanecem as mesmas:
ou
Calcule o comprimento de onda e a frequência da transição .
Determine se os orbitais e são autofunções de . Se não forem, haverá combinação linear destes orbitais de tal forma a ser autofunção de ?