Uma carga
é dividida em duas partes
e
, que são, a seguir, afastadas por uma certa distância entre si. Qual deve ser o valor de
em termos de
, de modo que a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja máxima?
- A magnitude da repulsão entre
e
é
A condição para que
seja máxima em relação a
é que sejam satisfeitas simultaneamente as equações
A primeira condição produz
cuja solução é
. Como a segunda derivada é sempre menor que zero, a solução encontrada,
, produzirá a força máxima.
Observe que a resposta do problema é
e não
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma carga elétrica total
que é dividida em duas partes:
e
. Essas duas cargas vão se afastar uma da outra, e queremos descobrir qual o valor de
que faz com que a força de repulsão eletrostática entre elas seja máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb, e técnicas de cálculo para otimizar a força.
Passo 2
A força de repulsão eletrostática entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde
e
são as cargas,
é a distância entre elas, e
é a constante de permissividade do vácuo.
No nosso caso, as cargas são
e
, então a força fica:
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza essa força, precisamos derivar a expressão de
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto onde a força é máxima ou mínima.
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 4
Igualamos a derivada a zero para encontrar o valor crítico:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para garantir que esse ponto é um máximo, verificamos a segunda derivada da força em relação a
:
Como a segunda derivada é negativa, confirma que
realmente corresponde a um ponto de máximo para a força.
Resposta
O valor de
que maximiza a repulsão eletrostática é: