Duas esferas condutoras idênticas, mantidas fixas, atraem-se com uma força eletrostática de módulo igual a 0.108 N quando separadas por uma distância de 50.0 cm . As esferas são então ligadas por um fio condutor fino. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força eletrostática de módulo igual a 0.036 N . Quais eram as cargas iniciais das esferas?
  • Sejam q1 e q2 as cargas originais que desejamos calcular, separadas duma distância r. Escolhamos um sistema de coordenadas de modo que a força sobre q2 é positiva se ela for repelida por q1. Neste caso a magnitude da força Fi=-14 pi epsilon0 q1 q2r^2
onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem. Em outras palavras, o sinal negativo indica que o produto q1 q2=-4 pi epsilon0 r^2 Fi é negativo, pois a força Fi, (Fi>0), é força de atração. Como as esferas são idênticas, após o fio haver sido conectado ambas terão uma mesma carga sobre elas, de valor (q1+q2) / 2. Neste caso a força de repulsão Ff=14 pi epsilon0 (q1+q2)^24 r^2
Das duas expressões acima tiramos a soma e o produto de q1 e q2, ou seja
q1 q2=-4 pi epsilon0 r^2 Fi & =-(0.5)^2(0.108)9 times 10^9 & =-3 times 10^-12 C^2
e
q1+q2=r raiz4(4 pi epsilon0) Ff & = pm(0.5) raiz4(0.036)9 times 10^9 & = pm 2 times 10^-6 C
Conhecendo-se a soma e o produto de dois números, conhecemos na verdade os coeficientes da equação do segundo grau que define estes números, ou seja,
(x-q1)(x-q2)=x^2-(q1+q2) x+q1 q2
Dito de outra forma, se substituirmos
q2=-(3 times 10^-12) / q1
na equação da soma acima temos duas possibilidades:
q1-3.0 times 10^-12q1=+2 times 10^-6
ou
q1-3.0 times 10^-12q1=-2 times 10^-6
Considerando-se a Eq. I, temos
q1^2-2 times 10^-6 q1-3 times 10^-12=0
de onde tiramos as duas soluções
q1=-2 times 10^-6 pm raiz(2 times 10^-6)^2+4(3 times 10^-12)2
O sinal + fornece-nos
q1=1 times 10^-6 C e q2=-3 times 10^-6 C
enquanto que o sinal - fornece-nos
q1=-3 times 10^-6 C e q2=1 times 10^-6 C
onde usamos a Eq. (*) acima para calcular q2 a partir de q1. Repetindo-se a análise a partir da Eq. I I percebemos que existe outro par de soluções possível, uma vez que revertendo-se os sinais das cargas, as forças permanecem as mesmas:
q1=-1 times 10^-6 C e q2=3 times 10^-6 C
ou
q1=3 times 10^-6 C e q2=-1 times 10^-6 C

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos duas esferas condutoras iguais que, inicialmente, se atraem com uma força de 0.108 N quando estão separadas por 50 cm. Depois, ligamos as esferas com um fio condutor e, ao remover o fio, elas se repelem com uma força de 0.036 N. Precisamos descobrir quais eram as cargas iniciais de cada esfera.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. Também vamos precisar entender como as cargas se distribuem quando as esferas são conectadas por um fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Coulomb:
F = k q1 q2r^2
Onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as cargas das esferas,
  • é a distância entre elas.
Quando a força é de atração ( ), sabemos que as cargas têm sinais opostos.

Passo 3

Depois de ligar as esferas com o fio, as cargas se distribuem igualmente porque as esferas são idênticas. Assim, cada esfera fica com uma carga média:
q' = q1 + q22
Agora, a força de repulsão nos diz que as cargas agora têm o mesmo sinal.

Passo 4

Vamos usar a relação da força inicial de atração:
0.108 = k q1 q2(0.5)^2
Convertendo 50 cm para metros: q1 q2 = 0.108 times (0.5)^29 times 10^9 = 0.108 times 0.259 times 10^9 = 3 times 10^-12 , C^2 .
Reorganizando para encontrar q1 q2 = -3 times 10^-12 , C^2 :
Mas como a força é de atração, sabemos que é negativo:

Passo 5

Agora, vamos usar a força de repulsão após as cargas serem igualadas:
0.036 = k q'^2(0.5)^2
Substituindo 0.036 = 9 times 10^9 (q1 + q22)^20.25 :
0.036 = 9 times 10^9 (q1 + q2)^21
Simplificando:
(q1 + q2)^2 = 0.0369 times 10^9 = 4 times 10^-12 , C^2
Então:
q1 + q2 = pm 2 times 10^-6 , C
Tomando a raiz quadrada:

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. x^2 - (q1 + q2)x + q1 q2 = 0
  2. x^2 - 2 times 10^-6x - 3 times 10^-12 = 0
Vamos resolver esse sistema. Podemos imaginar uma equação quadrática onde e são as raízes:
Substituindo os valores:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 times 10^-6 pm raiz(2 times 10^-6)^2 + 12 times 10^-122
Calculando o discriminante:
raiz4 times 10^-12 + 12 times 10^-12 = raiz16 times 10^-12 = 4 times 10^-6
Então:
x = 2 times 10^-6 pm 4 times 10^-62
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

As cargas iniciais das esferas eram e .

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