Duas esferas condutoras idênticas, mantidas fixas, atraem-se com uma força eletrostática de módulo igual a 0.108 N quando separadas por uma distância de 50.0 cm . As esferas são então ligadas por um fio condutor fino. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força eletrostática de módulo igual a 0.036 N . Quais eram as cargas iniciais das esferas?
- Sejam
e
as cargas originais que desejamos calcular, separadas duma distância
. Escolhamos um sistema de coordenadas de modo que a força sobre
é positiva se ela for repelida por
. Neste caso a magnitude da força
onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem. Em outras palavras, o sinal negativo indica que o produto
é negativo, pois a força
,
, é força de atração. Como as esferas são idênticas, após o fio haver sido conectado ambas terão uma mesma carga sobre elas, de valor
. Neste caso a força de repulsão
Das duas expressões acima tiramos a soma e o produto de
e
, ou seja
e
Conhecendo-se a soma e o produto de dois números, conhecemos na verdade os coeficientes da equação do segundo grau que define estes números, ou seja,
Dito de outra forma, se substituirmos
na equação da soma acima temos duas possibilidades:
ou
Considerando-se a Eq.
, temos
de onde tiramos as duas soluções
O sinal + fornece-nos
enquanto que o sinal - fornece-nos
onde usamos a Eq. (*) acima para calcular
a partir de
. Repetindo-se a análise a partir da Eq.
percebemos que existe outro par de soluções possível, uma vez que revertendo-se os sinais das cargas, as forças permanecem as mesmas:
ou
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos duas esferas condutoras iguais que, inicialmente, se atraem com uma força de 0.108 N quando estão separadas por 50 cm. Depois, ligamos as esferas com um fio condutor e, ao remover o fio, elas se repelem com uma força de 0.036 N. Precisamos descobrir quais eram as cargas iniciais de cada esfera.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. Também vamos precisar entender como as cargas se distribuem quando as esferas são conectadas por um fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Coulomb:
Onde:
-
é a força entre as cargas, -
é a constante de Coulomb ( ), -
e são as cargas das esferas, -
é a distância entre elas.
Quando a força é de atração (
), sabemos que as cargas têm sinais opostos.
Passo 3
Depois de ligar as esferas com o fio, as cargas se distribuem igualmente porque as esferas são idênticas. Assim, cada esfera fica com uma carga média:
Agora, a força de repulsão
nos diz que as cargas agora têm o mesmo sinal.
Passo 4
Vamos usar a relação da força inicial de atração:
Convertendo 50 cm para metros:
.
Reorganizando para encontrar
:
Mas como a força é de atração, sabemos que
é negativo:
Passo 5
Agora, vamos usar a força de repulsão após as cargas serem igualadas:
Substituindo
:
Simplificando:
Então:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos imaginar uma equação quadrática onde
e
são as raízes:
Substituindo os valores:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
As cargas iniciais das esferas eram
e
.
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e
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E 23-24
Qual é a carga total em Coulombs de 75 kg de elétrons?
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de maneira que a quantidade de elétrons em é
Portanto, a carga total é
Uma carga
é dividida em duas partes
e
, que são, a seguir, afastadas por uma certa distância entre si. Qual deve ser o valor de
em termos de
, de modo que a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja máxima?
- A magnitude da repulsão entre
e é
A condição para que
seja máxima em relação a
é que sejam satisfeitas simultaneamente as equações
A primeira condição produz
cuja solução é
. Como a segunda derivada é sempre menor que zero, a solução encontrada,
, produzirá a força máxima.
Observe que a resposta do problema é
e não
.