Uma carga +e está localizada no ponto (-a2, 0) e uma carga - e está localizada no ponto (a2, 0). Determine o campo elétrico nos pontos (i) (0,0), (ii) (-a, 0), (iii) (a, 0), (iv) (0, a),(v)(0,-a) e (vi) (a, a). Calcule a força eletrostática sobre uma carga teste q quando está é colocada nos pontos descritos acima.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é duas cargas elétricas: uma carga positiva no ponto e uma carga negativa no ponto . Nosso objetivo é descobrir o campo elétrico em seis pontos específicos e, depois, calcular a força eletrostática que uma carga de teste sofreria nesses pontos. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb e a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga pontual.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A fórmula é:
E = ke Qr^2 r
onde:
  • é a constante de Coulomb ( ²²),
  • é a carga que gera o campo,
  • é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é o vetor unitário que aponta do Q para o ponto de interesse.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico em cada um dos seis pontos. Depois, somamos os campos das duas cargas para obter o campo total em cada ponto. Por fim, usamos a relação para encontrar a força sobre a carga de teste.

Passo 4

(i) Ponto Etotal = E+e + E-e = ke e(a2)^2 + ke e(a2)^2 = 2ke 4ea^2 = 8ke ea^2

  • Distância das cargas ao ponto:
    F = q Etotal = q (8ke ea^2) para ambas as cargas.
  • Direção dos campos:
    A carga gera um campo para longe dela, na direção positiva do eixo x.
    A carga gera um campo em direção a ela, ou seja, também na direção positiva do eixo x.
  • Cálculo do campo total:
  • Força sobre a carga de teste:

Passo 5

(ii) Ponto E+e = ke e(a2)^2 = 4ke ea^2 (direção negativa)

  • Distância das cargas ao ponto:
    Para E-e = ke e(3a2)^2 = 4ke e9a^2 (direção positiva) : Etotal = -4ke ea^2 + 4ke e9a^2 = -32ke e9a^2
    Para F = q Etotal = q (-32ke e9a^2) :
  • Direção dos campos:
    : repulsão à esquerda, direção negativa do eixo x.
    : atração à direita, direção positiva do eixo x.
  • Cálculo do campo total: çã çã
  • Força sobre a carga de teste:

Passo 6

(iii) Ponto E+e = ke e(3a2)^2 = 4ke e9a^2 (direção positiva)

  • Distância das cargas ao ponto:
    Para E-e = ke e(a2)^2 = 4ke ea^2 (direção negativa) : Etotal = 4ke e9a^2 - 4ke ea^2 = -32ke e9a^2
    Para F = q Etotal = q (-32ke e9a^2) :
  • Direção dos campos:
    : repulsão à direita, direção positiva do eixo x.
    : atração à esquerda, direção negativa do eixo x.
  • Cálculo do campo total: çã çã
  • Força sobre a carga de teste:

Passo 7

(iv) Ponto E+e,x = ke e(raiz5a2)^2 cdot a/2raiz5a2 = 4ke e5a^2 cdot 1raiz5 = 4ke e5a^2 cdot raiz55 = 4ke e raiz525a^2

  • Distância das cargas ao ponto:
    E+e,y = ke e(raiz5a2)^2 cdot araiz5a2 = 4ke e5a^2 cdot 2raiz5 = 8ke e5a^2 raiz5 = 8ke e raiz525a^2 para ambas as cargas.
  • Direção dos campos:
    E-e,x = ke e(raiz5a2)^2 cdot -a/2raiz5a2 = -4ke e5a^2 cdot 1raiz5 = -4ke e raiz525a^2 : repulsão na direção de E-e,y = ke e(raiz5a2)^2 cdot araiz5a2 = 4ke e5a^2 cdot 2raiz5 = 8ke e raiz525a^2
    Etotal,x = 4ke e raiz525a^2 - 4ke e raiz525a^2 = 0 : atração na direção de Etotal,y = 8ke e raiz525a^2 + 8ke e raiz525a^2 = 16ke e raiz525a^2
  • Componentes dos campos:
    Para F = q Etotal = q (0 i + 16ke e raiz525a^2 j) : Para :
  • Cálculo do campo total:
  • Força sobre a carga de teste:

Passo 8

(v) Ponto E+e,x = 4ke e raiz525a^2

  • Distância das cargas ao ponto:
    Igual ao ponto E+e,y = -8ke e raiz525a^2 , E-e,x = -4ke e raiz525a^2 para ambas as cargas.
  • Direção dos campos:
    E-e,y = -8ke e raiz525a^2 : repulsão na direção de Etotal,x = 4ke e raiz525a^2 - 4ke e raiz525a^2 = 0
    Etotal,y = -8ke e raiz525a^2 - 8ke e raiz525a^2 = -16ke e raiz525a^2 : atração na direção de F = q Etotal = q (0 i - 16ke e raiz525a^2 j)
  • Componentes dos campos:
    Para : Para :
  • Cálculo do campo total:
  • Força sobre a carga de teste:

Passo 9

(vi) Ponto E+e,x = ke e(raiz13a2)^2 cdot -a/2raiz13a2 = -4ke e13a^2 cdot 1raiz13 = -4ke e13a^2 raiz13 = -4ke e13^3/2a^2

  • Distância das cargas ao ponto:
    Para E+e,y = ke e(raiz13a2)^2 cdot araiz13a2 = 4ke e13a^2 cdot 2raiz13 = 8ke e13a^2 raiz13 = 8ke e13^3/2a^2 : E-e,x = ke e(raiz5a2)^2 cdot a/2raiz5a2 = 4ke e5a^2 cdot 1raiz5 = 4ke e5a^2 raiz5 = 4ke e5^3/2a^2
    Para E-e,y = ke e(raiz5a2)^2 cdot araiz5a2 = 4ke e5a^2 cdot 2raiz5 = 8ke e5a^2 raiz5 = 8ke e5^3/2a^2 : Etotal,x = -4ke e13^3/2a^2 + 4ke e5^3/2a^2
  • Direção dos campos:
    Etotal,y = 8ke e13^3/2a^2 + 8ke e5^3/2a^2 : repulsão na direção de Etotal,x = 4ke ea^2 ( -113^3/2 + 15^3/2 )
    Etotal,y = 8ke ea^2 ( 113^3/2 + 15^3/2 ) : atração na direção de F = q Etotal = q ( 4ke ea^2 ( -113^3/2 + 15^3/2 ) i + 8ke ea^2 ( 113^3/2 + 15^3/2 ) j )
  • Componentes dos campos:
    Para : Para :
  • Cálculo do campo total: Podemos simplificar mantendo os denominadores:
  • Força sobre a carga de teste:

Resposta

Os campos elétricos e as forças eletrostáticas sobre a carga teste E = 8ke ea^2 , i, F = q (8ke ea^2) , i nos pontos solicitados são:
  1. Ponto E = -32ke e9a^2 , i, F = q (-32ke e9a^2) , i :
    E = -32ke e9a^2 , i, F = q (-32ke e9a^2) , i
  2. Ponto E = 16ke e raiz525a^2 , j, F = q (16ke e raiz525a^2) , j :
    E = -16ke e raiz525a^2 , j, F = q (-16ke e raiz525a^2) , j
  3. Ponto E = 4ke ea^2 ( -113^3/2 + 15^3/2 ) i + 8ke ea^2 ( 113^3/2 + 15^3/2 ) j :
    F = q [ 4ke ea^2 ( -113^3/2 + 15^3/2 ) i + 8ke ea^2 ( 113^3/2 + 15^3/2 ) j ]
  4. Ponto :
  5. Ponto :
  6. Ponto :

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