Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco unitário
de modo que a densidade de carga em
é
(medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no disco.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma carga elétrica distribuída em um disco unitário, onde a densidade de carga é dada por
coulombs por metro quadrado. Precisamos encontrar a carga total presente nesse disco. Para isso, vamos usar cálculos de integração em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma área circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a carga total. A carga total
em uma região é obtida integrando a densidade de carga
sobre toda a área do disco. Em termos matemáticos, isso fica assim:
Onde
é a área do disco unitário.
Passo 3
Como estamos lidando com um disco circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Vamos fazer a mudança de coordenadas onde
e
. A densidade de carga em coordenadas polares fica:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 4
Agora, substituímos a densidade e o elemento de área na integral:
Aqui, os limites de integração para
vão de 0 a 1 (raio do disco) e para
de 0 a
(volta completa).
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 6
Agora, integramos em
:
Resposta
A carga total no disco é
coulombs.
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