Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco unitário x^2 + y^2 <= 1 de modo que a densidade de carga em (x, y) é sigma(x, y) = 1 + x^2 + y^2 (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no disco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma carga elétrica distribuída em um disco unitário, onde a densidade de carga é dada por coulombs por metro quadrado. Precisamos encontrar a carga total presente nesse disco. Para isso, vamos usar cálculos de integração em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma área circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a carga total. A carga total em uma região é obtida integrando a densidade de carga sobre toda a área do disco. Em termos matemáticos, isso fica assim:
Onde é a área do disco unitário.

Passo 3

Como estamos lidando com um disco circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Vamos fazer a mudança de coordenadas onde e . A densidade de carga em coordenadas polares fica:
E o elemento de área em coordenadas polares é:

Passo 4

Agora, substituímos a densidade e o elemento de área na integral:
Aqui, os limites de integração para vão de 0 a 1 (raio do disco) e para de 0 a (volta completa).

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 6

Agora, integramos em :

Resposta

A carga total no disco é coulombs.

Exercícios relacionados