Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma da série é igual a . A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, e vamos precisar usar um método chamado frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos. Ela é uma soma infinita onde cada termo é da forma . Então, a série pode ser escrita assim:

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos usar o método de frações parciais. Isso significa que vamos decompor em duas frações mais simples. Especificamente, queremos encontrar números e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Agrupando os termos com :

Passo 5

Agora, para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o sistema de equa��ões:
Resolvendo o segundo quebra-cabeça primeiro:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Então, nossa decomposição de frações parciais fica:
Isso simplifica a série original para:

Passo 7

Agora, podemos separar a soma:
Vamos olhar os primeiros termos para ver o que acontece:

Passo 8

Perceba que muitos termos se cancelam. Isso é o que chamamos de série telescópica. Continuando a soma, praticamente todos os termos intermediários somam zero:

Resposta

A soma da série é .

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