Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma da série
é igual a
. A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, e vamos precisar usar um método chamado frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos. Ela é uma soma infinita onde cada termo é da forma
. Então, a série pode ser escrita assim:
Passo 3
Para simplificar essa expressão, vamos usar o método de frações parciais. Isso significa que vamos decompor
em duas frações mais simples. Especificamente, queremos encontrar números
e
tais que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Agora, para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o sistema de equa��ões:
Resolvendo o segundo quebra-cabeça primeiro:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Então, nossa decomposição de frações parciais fica:
Isso simplifica a série original para:
Passo 7
Agora, podemos separar a soma:
Vamos olhar os primeiros termos para ver o que acontece:
Passo 8
Perceba que muitos termos se cancelam. Isso é o que chamamos de série telescópica. Continuando a soma, praticamente todos os termos intermediários somam zero:
Resposta
A soma da série é
.
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Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco unitário
de modo que a densidade de carga em
é
(medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no disco.
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Determine se a série converge e, em caso afirmativo, encontre o valor da soma: