Use o teste da integral para determinar a convergência da série sumk=1^+infty 1(4+2 k)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral pra ver se a série converge. Basicamente, o teste da integral ajuda a determinar se uma série infinita chega a um valor finito ou não, usando integrais que se parecem com os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observa que sumk=1^+infty 1(2(k + 2))^3/2 = sumk=1^+infty 12^3/2 (k + 2)^3/2 pode ser reescrito como 12^3/2 sumk=1^+infty 1(k + 2)^3/2 . Então, a série fica:
Como é uma constante, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da integral. Esse teste diz que, se a função é positiva, contínua e decrescente para (algum número ), então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, a função é . Ela é positiva, contínua e decrescente para , então podemos aplicar o teste.

Passo 4

Vamos calcular a integral correspondente:
integral1^+infty 1(x + 2)^3/2 , dx
Fazendo uma substituição simples, seja integral3^+infty 1u^3/2 , du , então . Quando , , e quando , . A integral vira:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral:
integral 1u^3/2 , du = integral u^-3/2 , du = u^-1/2-1/2 + C = -2u^-1/2 + C = -2raizu + C
Aplicando os limites de integração:
[ -2raizu ]3^+infty = ( 0 - ( -2raiz3 ) ) = 2raiz3
Como a integral resultou em um valor finito ( ), ela converge.

Passo 6

Como a integral converge, pelo teste da integral, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

Exercícios relacionados