Use o teste da integral para determinar a convergência da série

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral pra ver se a série converge. Basicamente, o teste da integral ajuda a determinar se uma série infinita chega a um valor finito ou não, usando integrais que se parecem com os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observa que pode ser reescrito como . Então, a série fica:
Como é uma constante, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da integral. Esse teste diz que, se a função é positiva, contínua e decrescente para (algum número ), então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, a função é . Ela é positiva, contínua e decrescente para , então podemos aplicar o teste.

Passo 4

Vamos calcular a integral correspondente:
Fazendo uma substituição simples, seja , então . Quando , , e quando , . A integral vira:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral:
Aplicando os limites de integração:
Como a integral resultou em um valor finito ( ), ela converge.

Passo 6

Como a integral converge, pelo teste da integral, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações exponenciais:
Considere a função dada por .
(a) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
(b) Determine os pontos onde a reta tangente corta os eixos coordenados.
© Calcule a área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos.
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Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco unitário de modo que a densidade de carga em é (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no disco.