Use o teste da integral para determinar a convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral pra ver se a série
converge. Basicamente, o teste da integral ajuda a determinar se uma série infinita chega a um valor finito ou não, usando integrais que se parecem com os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observa que
pode ser reescrito como
. Então, a série fica:
Como
é uma constante, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da integral. Esse teste diz que, se a função
é positiva, contínua e decrescente para
(algum número
), então a série
converge se e somente se a integral
converge.
No nosso caso, a função é
. Ela é positiva, contínua e decrescente para
, então podemos aplicar o teste.
Passo 4
Vamos calcular a integral correspondente:
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral vira:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral:
Aplicando os limites de integração:
Como a integral resultou em um valor finito (
), ela converge.
Passo 6
Como a integral
converge, pelo teste da integral, a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.