O Wronskiano de duas funções é . As funções são LI ou LD? Porque?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem o Wronskiano de duas funções, que é . A pergunta é: essas funções são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD)? E por quê? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a saber se duas funções são LI ou LD.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Wronskiano. O Wronskiano é uma ferramenta usada em cálculo, especialmente em equações diferenciais, para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Se o Wronskiano de duas funções não for zero em algum intervalo, isso significa que as funções são lineares independentes nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa questão. O Wronskiano dado é . Vamos verificar onde esse Wronskiano é diferente de zero.
Isso acontece quando , ou seja, quando e .

Passo 4

Como o Wronskiano não é zero para e , podemos concluir que, nesses intervalos, as funções são linearmente independentes. Isso significa que elas não podem ser escritas como múltiplos umas das outras.

Passo 5

Por outro lado, nos pontos onde e , o Wronskiano é zero. Porém, apenas o fato de o Wronskiano ser zero em alguns pontos não é suficiente para concluir que as funções são linearmente dependentes em todo o intervalo. Precisamos que o Wronskiano seja zero em todo o intervalo considerado para afirmar que as funções são LD.

Resposta

As funções são linearmente independentes (LI), porque o Wronskiano não é zero em toda parte.

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