Uma carga elétrica positiva
está distribuída uniformemente ao longo de uma linha reta de comprimento
, situada no eixo
entre
e
. Determine o campo elétrico em um ponto
situado sobre o eixo
a uma distância
da origem.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma carga elétrica positiva
distribuída de forma uniforme ao longo de uma linha reta de comprimento
, que está situada no eixo
entre
e
. Precisamos determinar o campo elétrico no ponto
que está sobre o eixo
, a uma distância
da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento da linha de carga, digamos
, localizado a uma posição
no eixo
. A carga desse elemento é
, onde
é a densidade linear de carga. Como a carga está distribuída uniformemente,
.
Passo 3
Agora, queremos achar o campo elétrico
gerado por esse pequeno elemento de carga
no ponto
. Pelo princípio de Coulomb, temos:
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto
, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
A distância
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
E o vetor unitário
tem componentes:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total no ponto
, precisamos integrar
ao longo de toda a extensão da linha de carga, de
a
:
Passo 7
Observando a simetria do problema, percebemos que as componentes do campo na direção
(vertical) se cancelam, pois para cada elemento
, existe um elemento
que contribui com um campo oposto na direção
. Portanto, só precisamos calcular a componente na direção
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Substituindo o resultado da integral na expressão de
:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Lembrando que
:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é dado por:
Exercícios relacionados
a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for
?
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
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d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.
Resp.: a) ; b)
e
c) 5
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c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
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Resp.: a)
Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de
em função de
. (b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?
Uma carga elétrica está distribuída uniformemente em torno de um anel fino de raio
, com uma carga total
. Calcule o potencial em um ponto
situado sobre o eixo do anel a uma distância
do seu centro.
Determine o campo elétrico,
, produzido por um anel de raio
(com expessura desprezível), que possui um densidade linear de carga positiva e uniforme
, em um ponto situado sobre o eixo principal do anel a uma distância
do seu centro.