Uma carga elétrica positiva está distribuída uniformemente ao longo de uma linha reta de comprimento , situada no eixo entre e . Determine o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo a uma distância da origem.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma carga elétrica positiva distribuída de forma uniforme ao longo de uma linha reta de comprimento , que está situada no eixo entre e . Precisamos determinar o campo elétrico no ponto que está sobre o eixo , a uma distância da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento da linha de carga, digamos , localizado a uma posição no eixo . A carga desse elemento é , onde é a densidade linear de carga. Como a carga está distribuída uniformemente, .

Passo 3

Agora, queremos achar o campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga no ponto . Pelo princípio de Coulomb, temos:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

A distância pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
E o vetor unitário tem componentes:

Passo 5

Substituindo e na expressão de :

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total no ponto , precisamos integrar ao longo de toda a extensão da linha de carga, de a :

Passo 7

Observando a simetria do problema, percebemos que as componentes do campo na direção (vertical) se cancelam, pois para cada elemento , existe um elemento que contribui com um campo oposto na direção . Portanto, só precisamos calcular a componente na direção :

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de a :

Passo 9

Substituindo o resultado da integral na expressão de :

Passo 10

Simplificando a expressão:
Lembrando que :

Resposta

O campo elétrico no ponto é dado por:

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