Uma carga elétrica positiva Q está distribuída uniformemente ao longo de uma linha reta de comprimento 2 a, situada no eixo O y entre y=a e y=-a. Determine o campo elétrico em um ponto P situado sobre o eixo O x a uma distância x da origem.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma carga elétrica positiva Q distribuída de forma uniforme ao longo de uma linha reta de comprimento 2a, que está situada no eixo O y entre y = a e y = -a. Precisamos determinar o campo elétrico no ponto P que está sobre o eixo O x, a uma distância x da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento da linha de carga, digamos dy, localizado a uma posição y no eixo O y. A carga desse elemento é dq = lambda dy, onde lambda é a densidade linear de carga. Como a carga está distribuída uniformemente, lambda = Q2a.

Passo 3

Agora, queremos achar o campo elétrico dE gerado por esse pequeno elemento de carga dq no ponto P. Pelo princípio de Coulomb, temos:
dE = 14pi varepsilon0 dqr^2 r
onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 4

A distância r pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + y^2
E o vetor unitário r tem componentes:
r = x i - y jraizx^2 + y^2

Passo 5

Substituindo dq e r na expressão de dE:
dE = 14pi varepsilon0 lambda dy(x^2 + y^2) cdot x i - y jraizx^2 + y^2 = 14pi varepsilon0 lambda (x i - y j) dy(x^2 + y^2)^3/2

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total no ponto P, precisamos integrar dE ao longo de toda a extensão da linha de carga, de y = -a a y = a:
E = lambda4pi varepsilon0 integral-a^a x i - y j(x^2 + y^2)^3/2 dy

Passo 7

Observando a simetria do problema, percebemos que as componentes do campo na direção j (vertical) se cancelam, pois para cada elemento y, existe um elemento -y que contribui com um campo oposto na direção j. Portanto, só precisamos calcular a componente na direção i:
Ex = lambda x4pi varepsilon0 integral-a^a dy(x^2 + y^2)^3/2

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integral dy(x^2 + y^2)^3/2 = yx^2 raizx^2 + y^2 a -a:
a

Passo 9

Substituindo o resultado da integral na expressão de Ex:
Ex = lambda x4pi varepsilon0 cdot 2ax^2 raizx^2 + a^2 = lambda cdot 2a4pi varepsilon0 x raizx^2 + a^2

Passo 10

Simplificando a expressão:
Ex = lambda a2pi varepsilon0 x raizx^2 + a^2
Lembrando que lambda = Q2a:
Ex = Q2a cdot a2pi varepsilon0 x raizx^2 + a^2 = Q4pi varepsilon0 x raizx^2 + a^2

Resposta

O campo elétrico no ponto P é dado por:
E = Q4pi varepsilon0 x raizx^2 + a^2 i

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