Uma carga elétrica positiva
está distribuída uniformemente ao longo de uma linha reta de comprimento
, situada no eixo
entre
e
. Determine o campo elétrico em um ponto
situado sobre o eixo
a uma distância
da origem.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma carga elétrica positiva
distribuída de forma uniforme ao longo de uma linha reta de comprimento
, que está situada no eixo
entre
e
. Precisamos determinar o campo elétrico no ponto
que está sobre o eixo
, a uma distância
da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento da linha de carga, digamos
, localizado a uma posição
no eixo
. A carga desse elemento é
, onde
é a densidade linear de carga. Como a carga está distribuída uniformemente,
.
Passo 3
Agora, queremos achar o campo elétrico
gerado por esse pequeno elemento de carga
no ponto
. Pelo princípio de Coulomb, temos:
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto
, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
A distância
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
E o vetor unitário
tem componentes:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total no ponto
, precisamos integrar
ao longo de toda a extensão da linha de carga, de
a
:
Passo 7
Observando a simetria do problema, percebemos que as componentes do campo na direção
(vertical) se cancelam, pois para cada elemento
, existe um elemento
que contribui com um campo oposto na direção
. Portanto, só precisamos calcular a componente na direção
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Substituindo o resultado da integral na expressão de
:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Lembrando que
:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é dado por: