Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por Psi(x, t)=A e^-x^2 / L^2 e uma energia dada por k / 2 m L^2, em que L é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de V em função de x. (b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com uma função de onda Psi(x, t) = A e^-x^2 / L^2 e uma energia E = k2 m L^2. O conteúdo envolve a Mecânica Quântica, especificamente a equação de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar usar a equação de Schrödinger independente do tempo e calcular a energia potencial V(x).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão:
- hbar^22m d^2 Psi(x)dx^2 + V(x) Psi(x) = E Psi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, Psi(x) é a função de onda, V(x) é a energia potencial, e E é a energia total da partícula.

Passo 3

Nosso objetivo é isolar V(x). Vamos rearranjar a equação:
V(x) = E + hbar^22m 1Psi(x) d^2 Psi(x)dx^2
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de Psi(x) em relação a x.

Passo 4

Vamos derivar Psi(x) = A e^-x^2 / L^2 duas vezes:
Primeira derivada:
d Psi(x)dx = -2xL^2 A e^-x^2 / L^2
Segunda derivada:
d^2 Psi(x)dx^2 = ( 4x^2L^4 - 2L^2 ) A e^-x^2 / L^2

Passo 5

Substituindo Psi(x) e sua segunda derivada na expressão de V(x):
V(x) = k2 m L^2 + hbar^22m 1A e^-x^2 / L^2 ( 4x^2L^4 - 2L^2 ) A e^-x^2 / L^2
Simplificando:
V(x) = k2 m L^2 + hbar^22m ( 4x^2L^4 - 2L^2 )

Passo 6

Vamos organizar os termos:
V(x) = hbar^22m 4x^2L^4 + ( k2 m L^2 - hbar^22m 2L^2 )
Isso pode ser escrito como:
V(x) = 2 hbar^2m L^4 x^2 + ( k2 m L^2 - hbar^2m L^2 )

Passo 7

Para simplificar, podemos definir uma constante para o termo independente, mas como a questão pede a forma de V(x) em função de x, podemos deixar assim:
V(x) = 2 hbar^2m L^4 x^2 + constante

Resposta

A energia potencial em função de x é dada por:
V(x) = 2 hbar^2m L^4 x^2 + ( k2 m L^2 - hbar^2m L^2 )
Para o gráfico de V em função de x, temos uma parábola com coeficiente positivo, indicando que a energia potencial aumenta quadraticamente com x.
No item (b), esse tipo de potencial clássico é conhecido como potencial harmônico ou oscilador harmônico, que é característico de sistemas como molas e massas em movimentos oscilatórios.

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