Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de
em função de
. (b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com uma função de onda
e uma energia
. O conteúdo envolve a Mecânica Quântica, especificamente a equação de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar usar a equação de Schrödinger independente do tempo e calcular a energia potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a função de onda,
é a energia potencial, e
é a energia total da partícula.
Passo 3
Nosso objetivo é isolar
. Vamos rearranjar a equação:
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
duas vezes:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e sua segunda derivada na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos organizar os termos:
Isso pode ser escrito como:
Passo 7
Para simplificar, podemos definir uma constante para o termo independente, mas como a questão pede a forma de
em função de
, podemos deixar assim:
Resposta
A energia potencial em função de
é dada por:
Para o gráfico de
em função de
, temos uma parábola com coeficiente positivo, indicando que a energia potencial aumenta quadraticamente com
.
No item (b), esse tipo de potencial clássico é conhecido como potencial harmônico ou oscilador harmônico, que é característico de sistemas como molas e massas em movimentos oscilatórios.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
A função de onda
para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de uma partícula de massa
sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é
, pode ser expressa como:
onde a constante real
pode ter qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução para a equação de Schrödinger com o potencial apropriado. (O termo dependente do tempo é uma exponencial complexa)
a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for
?
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.
Resp.: a) ; b)
e
c) 5
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.
Resp.: a)
Uma carga elétrica positiva
está distribuída uniformemente ao longo de uma linha reta de comprimento
, situada no eixo
entre
e
. Determine o campo elétrico em um ponto
situado sobre o eixo
a uma distância
da origem.