Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de
em função de
. (b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com uma função de onda
e uma energia
. O conteúdo envolve a Mecânica Quântica, especificamente a equação de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar usar a equação de Schrödinger independente do tempo e calcular a energia potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a função de onda,
é a energia potencial, e
é a energia total da partícula.
Passo 3
Nosso objetivo é isolar
. Vamos rearranjar a equação:
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
duas vezes:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e sua segunda derivada na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos organizar os termos:
Isso pode ser escrito como:
Passo 7
Para simplificar, podemos definir uma constante para o termo independente, mas como a questão pede a forma de
em função de
, podemos deixar assim:
Resposta
A energia potencial em função de
é dada por:
Para o gráfico de
em função de
, temos uma parábola com coeficiente positivo, indicando que a energia potencial aumenta quadraticamente com
.
No item (b), esse tipo de potencial clássico é conhecido como potencial harmônico ou oscilador harmônico, que é característico de sistemas como molas e massas em movimentos oscilatórios.