Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por e uma energia dada por , em que é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de em função de . (b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com uma função de onda e uma energia . O conteúdo envolve a Mecânica Quântica, especificamente a equação de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar usar a equação de Schrödinger independente do tempo e calcular a energia potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a função de onda, é a energia potencial, e é a energia total da partícula.

Passo 3

Nosso objetivo é isolar . Vamos rearranjar a equação:
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos derivar duas vezes:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo e sua segunda derivada na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Vamos organizar os termos:
Isso pode ser escrito como:

Passo 7

Para simplificar, podemos definir uma constante para o termo independente, mas como a questão pede a forma de em função de , podemos deixar assim:

Resposta

A energia potencial em função de é dada por:
Para o gráfico de em função de , temos uma parábola com coeficiente positivo, indicando que a energia potencial aumenta quadraticamente com .
No item (b), esse tipo de potencial clássico é conhecido como potencial harmônico ou oscilador harmônico, que é característico de sistemas como molas e massas em movimentos oscilatórios.

Exercícios relacionados

(a) Mostre que a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
A função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de uma partícula de massa sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é , pode ser expressa como:
onde a constante real pode ter qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução para a equação de Schrödinger com o potencial apropriado. (O termo dependente do tempo é uma exponencial complexa)
a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for ?
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.
Resp.: a) ; b) e c) 5
Uma carga elétrica positiva está distribuída uniformemente ao longo de uma linha reta de comprimento , situada no eixo entre e . Determine o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo a uma distância da origem.