Uma carga elétrica positiva, q, está localizada no ponto A. O potencial elétrico no ponto
, que está a uma distância
, é fornecida pela equação
.
b) Determine o campo elétrico no ponto P, em função de Q e r., utilizando o gradiente.
b) Determine o campo elétrico no ponto P, em função de Q e r., utilizando o gradiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma carga elétrica positiva $ Q $ no ponto A e o potencial elétrico no ponto $ P $, que está a uma distância $ r $, é dado por $ V® = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r} $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve Potencial Elétrico e Campo Elétrico, e vamos precisar entender como usar o gradiente para relacionar esses dois conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ através da relação $ \mathbf{E} = -\nabla V $. Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de $ V® $. Como o potencial só depende da distância $ r $ e temos simetria radial, o gradiente em coordenadas esféricas simplifica para:
Onde $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.
Passo 4
Vamos derivar $ V® $ em relação a $ r $:
Passo 5
Aplicando a relação entre o campo elétrico e o gradiente do potencial:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por: