Uma carga elétrica positiva, q, está localizada no ponto A. O potencial elétrico no ponto P, que está a uma distância r, é fornecida pela equação V(r)=(1 / 4 pi varepsilon0) Q / r.
b) Determine o campo elétrico no ponto P, em função de Q e r., utilizando o gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma carga elétrica positiva $ Q $ no ponto A e o potencial elétrico no ponto $ P $, que está a uma distância $ r $, é dado por $ V® = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r} $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve Potencial Elétrico e Campo Elétrico, e vamos precisar entender como usar o gradiente para relacionar esses dois conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ através da relação $ \mathbf{E} = -\nabla V $. Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de $ V® $. Como o potencial só depende da distância $ r $ e temos simetria radial, o gradiente em coordenadas esféricas simplifica para:
V(r)
Onde $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

Vamos derivar $ V® $ em relação a $ r $:
V(r)

Passo 5

Aplicando a relação entre o campo elétrico e o gradiente do potencial:
E = -nabla V = -( -14 pi varepsilon0 Qr^2 ) r = 14 pi varepsilon0 Qr^2 r

Resposta

O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por:
P

Exercícios relacionados