A posição de um barco que se move ao longo de um rio é descrita pela função:
s(t)=2 t^3-9 t^2+12 t,
onde s(t) é a posição em metros e t o tempo em segundos.
Determine os instantes em que o barco está em repouso.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função que descreve a posição de um barco ao longo do tempo:
s(t) = 2 t^3 - 9 t^2 + 12 t,
onde s(t) é a posição em metros e t é o tempo em segundos. A pergunta quer saber em que momentos o barco está em repouso, ou seja, quando a sua velocidade é zero.

Passo 2

Para encontrar os instantes em que o barco está em repouso, precisamos determinar a velocidade do barco. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular a derivada de s(t):
v(t) = dsdt = ddt (2 t^3 - 9 t^2 + 12 t)

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função:
  • A derivada de 2 t^3 é 6 t^2.
  • A derivada de -9 t^2 é -18 t.
  • A derivada de 12 t é 12.
Portanto,
v(t) = 6 t^2 - 18 t + 12

Passo 4

Agora, para encontrar os instantes em que o barco está em repouso, precisamos resolver a equação v(t) = 0:
6 t^2 - 18 t + 12 = 0

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 6:
t^2 - 3 t + 2 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
t^2 - 3 t + 2 = 0
Podemos fatorar a equação:
(t - 1)(t - 2) = 0

Passo 7

Igualando cada fator a zero:
t - 1 = 0 ou t - 2 = 0
Logo, t = 1 ou t = 2 segundos.

Resposta

O barco está em repouso nos instantes t = 1 segundo e t = 2 segundos.

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