Determine o potencial elétrico em pontos no interior do cilindro
: Seja um cilindro condutor maciço muito longo de raio
em equilfbrio eletrostático. Uma quantidade de carga elétrica está distribuida uniformemente ao longo de todo o seu comprimento com uma densidade linear de carga positiva
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado está pedindo. Temos um cilindro condutor maciço, muito longo, com raio
, que está em equilíbrio eletrostático. Uma carga elétrica está distribuída uniformemente ao longo de todo o comprimento do cilindro, com uma densidade linear de carga positiva
. Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico em pontos que estão dentro do cilindro, ou seja, onde o raio
é menor que
(
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico em geometria cilíndrica, além das leis de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar em equilíbrio eletrostático. Em um condutor em equilíbrio, o campo elétrico no interior do material condutor é zero. Isso ocorre porque as cargas elétricas se redistribuem na superfície para cancelar qualquer campo interno. Então, para qualquer ponto dentro do cilindro condutor (
), o campo elétrico
é zero.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o campo elétrico com o potencial elétrico. Sabemos que o campo elétrico é o gradiente do potencial elétrico, ou seja:
Como o campo elétrico
é zero dentro do condutor (
), temos:
Isso significa que a derivada do potencial em relação ao raio
é zero.
Passo 4
Se a derivada do potencial em relação a
é zero, isso implica que o potencial
é constante dentro do cilindro condutor. Em outras palavras, o potencial não varia com o raio dentro do material condutor.
Passo 5
Para determinar o valor desse potencial constante, vamos considerar a continuidade do potencial na superfície do cilindro (
). O potencial no interior deve ser igual ao potencial na superfície para que não haja descontinuidades.
Passo 6
Vamos calcular o potencial na superfície do cilindro. Para um cilindro longo com densidade linear de carga
, o potencial a uma distância
do eixo é dado por:
No nosso caso, na superfície
, o potencial
será:
Aqui,
é uma constante de integração que representa o potencial de referência.
Passo 7
Como o potencial dentro do cilindro (
) é constante e igual ao potencial na superfície, temos que:
Portanto, o potencial elétrico em qualquer ponto dentro do cilindro condutor é constante e igual a
.
Resposta
O potencial elétrico em qualquer ponto no interior do cilindro (
) é constante e igual ao potencial na superfície, dado por:
Onde
é o potencial de referência na superfície do cilindro.
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.
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e
. Calcule o potencial em um ponto
ao longo do eixo
situado a uma distância
da origem.