Determine o potencial elétrico em pontos no interior do cilindro (r: Seja um cilindro condutor maciço muito longo de raio a em equilfbrio eletrostático. Uma quantidade de carga elétrica está distribuida uniformemente ao longo de todo o seu comprimento com uma densidade linear de carga positiva lambda.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado está pedindo. Temos um cilindro condutor maciço, muito longo, com raio , que está em equilíbrio eletrostático. Uma carga elétrica está distribuída uniformemente ao longo de todo o comprimento do cilindro, com uma densidade linear de carga positiva . Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico em pontos que estão dentro do cilindro, ou seja, onde o raio é menor que ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico em geometria cilíndrica, além das leis de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar em equilíbrio eletrostático. Em um condutor em equilíbrio, o campo elétrico no interior do material condutor é zero. Isso ocorre porque as cargas elétricas se redistribuem na superfície para cancelar qualquer campo interno. Então, para qualquer ponto dentro do cilindro condutor ( ), o campo elétrico é zero.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o campo elétrico com o potencial elétrico. Sabemos que o campo elétrico é o gradiente do potencial elétrico, ou seja:
E = -dVdr
Como o campo elétrico 0 = -dVdr é zero dentro do condutor ( ), temos:
Isso significa que a derivada do potencial em relação ao raio é zero.

Passo 4

Se a derivada do potencial em relação a é zero, isso implica que o potencial é constante dentro do cilindro condutor. Em outras palavras, o potencial não varia com o raio dentro do material condutor.

Passo 5

Para determinar o valor desse potencial constante, vamos considerar a continuidade do potencial na superfície do cilindro ( ). O potencial no interior deve ser igual ao potencial na superfície para que não haja descontinuidades.

Passo 6

Vamos calcular o potencial na superfície do cilindro. Para um cilindro longo com densidade linear de carga V(r) = lambda2pivarepsilon0 ln(ar) + V0 , o potencial a uma distância V(a) = lambda2pivarepsilon0 ln(aa) + V0 = V0 do eixo é dado por:
No nosso caso, na superfície , o potencial será:
Aqui, é uma constante de integração que representa o potencial de referência.

Passo 7

Como o potencial dentro do cilindro ( V(r < a) = V(a) = V0 ) é constante e igual ao potencial na superfície, temos que:
Portanto, o potencial elétrico em qualquer ponto dentro do cilindro condutor é constante e igual a .

Resposta

O potencial elétrico em qualquer ponto no interior do cilindro ( V(r < a) = lambda2pivarepsilon0 ln(1) + V0 = V0 ) é constante e igual ao potencial na superfície, dado por:
Onde é o potencial de referência na superfície do cilindro.

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