Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios a e b, altura
e resistividade
. Mostre que a resistência elétrica deste sistema é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resistor que é meio que um tronco de cone, com raios diferentes na base e no topo, chamados de
e
, e altura
. A resistividade desse material é
. Nosso objetivo aqui é mostrar que a resistência elétrica dessa forma toda é dada por
. Vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica e como ela se comporta em objetos com área de seção transversal variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica
de um material depende da resistividade
, do comprimento
e da área da seção transversal
pela fórmula:
Mas aqui, o resistor não tem uma área constante, já que é um tronco de cone. Então, precisamos considerar isso na nossa conta.
Passo 3
Para lidar com a área variável, vamos imaginar que o tronco de cone é dividido em várias fatias fininhas, cada uma com uma pequena espessura
. Em cada fatia, a resistência diferencial
pode ser dada por:
Onde
é a área da seção transversal naquele ponto
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Como o tronco de cone tem raios
e
nas extremidades e altura
, o raio em qualquer posição
ao longo da altura é uma função linear:
A área da seção transversal é então:
Passo 5
Para encontrar a resistência total
, precisamos integrar
de
até
:
Vamos simplificar essa integral para facilitar a resolução.
Passo 6
Fazendo uma substituição para simplificar, vamos definir:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos:
Avaliado de
a
:
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A resistência elétrica do tronco de cone é
.
Exercícios relacionados
Determine o potencial elétrico em pontos no interior do cilindro
: Seja um cilindro condutor maciço muito longo de raio
em equilfbrio eletrostático. Uma quantidade de carga elétrica está distribuida uniformemente ao longo de todo o seu comprimento com uma densidade linear de carga positiva
.
Determine o potencial elétrico em pontos fora do cilindro (
): Seja um cilindro condutor maciço muito longo de raio
em equilfbrio eletrostático. Uma quantidade de carga elétrica está distribuida uniformemente ao longo de todo o seu comprimento com uma densidade linear de carga positiva
.
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está distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo de comprimento
situado sobre o eixo
entre os pontos
e
. Calcule o potencial em um ponto
ao longo do eixo
situado a uma distância
da origem.
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ou fora da esfera
. Represente graficamente a dependência do campo
em função dessa distancia
.