Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios a e b, altura l e resistividade rho. Mostre que a resistência elétrica deste sistema é R=rho /(pi a b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resistor que é meio que um tronco de cone, com raios diferentes na base e no topo, chamados de e , e altura . A resistividade desse material é . Nosso objetivo aqui é mostrar que a resistência elétrica dessa forma toda é dada por . Vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica e como ela se comporta em objetos com área de seção transversal variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica R = rho LA de um material depende da resistividade , do comprimento e da área da seção transversal pela fórmula:
Mas aqui, o resistor não tem uma área constante, já que é um tronco de cone. Então, precisamos considerar isso na nossa conta.

Passo 3

Para lidar com a área variável, vamos imaginar que o tronco de cone é dividido em várias fatias fininhas, cada uma com uma pequena espessura dR = rho , dxA(x) . Em cada fatia, a resistência diferencial pode ser dada por:
Onde é a área da seção transversal naquele ponto .

Passo 4

Agora, precisamos expressar r(x) = a + ( b - al ) x em termos de A(x) = pi [r(x)]^2 = pi (a + b - al x)^2 . Como o tronco de cone tem raios e nas extremidades e altura , o raio em qualquer posição ao longo da altura é uma função linear:
A área da seção transversal é então:

Passo 5

Para encontrar a resistência total R = integral0^l rho , dxpi (a + b - al x)^2 , precisamos integrar de até :
Vamos simplificar essa integral para facilitar a resolução.

Passo 6

Fazendo uma substituição para simplificar, vamos definir:
u = a + b - al x Rightarrow du = b - al dx Rightarrow dx = lb - a du
Substituindo na integral:
R = rho lpi (b - a) integrala^b duu^2

Passo 7

Agora, integramos:
integral duu^2 = -1u + C
Avaliado de [-1u]a^b = -1b + 1a = a - bab a R = rho lpi (b - a) cdot a - bab = rho lpi a b :
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A resistência elétrica do tronco de cone é .

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